师：同学们好。今天我们来学习第19章第三节矩形、菱形、正方形的第一课时。之前我们学过平行四边形，那平行四边形有什么性质呢？
生：平行四边形的性质可以从边、角和对角线这三个方面总结。平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分。
师：非常好。活动一，我们知道四边形具有不稳定性。推动平行四边形，改变其内角，当其中一个内角变为直角时，这个平行四边形就变成了我们小学学过的长方形。在初中阶段，我们把长方形叫做矩形。由此，我们得到矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。我们把矩形的定义写成几何语言就是：因为平行四边形ABCD中，∠ABC = 90°，所以平行四边形ABCD是矩形。在日常生活中，矩形随处可见，像窗户、黑板、电视机、课本等等。那矩形又有什么性质呢？活动二，从矩形的定义可知，矩形是特殊的平行四边形。按照这个逻辑，我们可以得到矩形的一般性质，也就是平行四边形的所有性质都是矩形的一般性质。矩形对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。聪明的同学可能会问，既然矩形是特殊的平行四边形，那矩形还有哪些特殊性质呢？接下来我们一起研究矩形的特殊性质。
我们还是从矩形的定义出发，将平行四边形推动，使其中一个内角为直角，变成矩形，那其他三个角会是什么角呢？大家猜想一下。
生：很容易猜想矩形的四个角都是直角。
师：对，要证明这个猜想是真命题，我们必须给出正确的几何推导。把它写成已知、求证的形式：首先画一个矩形ABCD，已知四边形ABCD是矩形，根据矩形定义，不妨设∠A = 90°，求证∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。怎么证明呢？我们从矩形的性质出发，矩形对边AD和BC互相平行，那么∠A和∠B就是一组同旁内角，已知∠A是90°，所以∠B = 180° - 90° = 90°。又因为矩形的对角相等，所以∠A = ∠C，∠B = ∠D，从而得到这四个角都是90°。具体证法如下：
证明：因为在矩形ABCD中，AD∥BC，所以∠A + ∠B = 180°，又因为∠A = 90°，所以∠B = 180° - 90° = 90°。又因为∠A = ∠C，∠B = ∠D（矩形的对角相等），所以∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。
这样，我们的第一个猜想被证明是正确的，于是得到矩形的特殊性质一：矩形的四个角都是直角。研究完矩形的角，接着研究矩形的对角线。矩形的对角线除了平分以外，还有什么别的性质吗？同学们，我们将红色的对角线绕着两条对角线的交点进行旋转，大家观察一下，有什么发现？
生：两条对角线互相重合了。
师：对，于是我们有了本节课的第二个猜想：矩形的对角线相等。同样，要证明这个猜想是真命题，我们要给出正确的几何推导。写出已知、求证，画出图形：已知四边形ABCD是矩形，求证AC = BD。怎么证明呢？思考一下。
生：证明两条边相等最常用的方法是证明这两条边所在的三角形全等，所以只要证明△ABC≌△DCB就可以了。
师：非常好，这两个三角形全等的条件有哪些呢？
生：根据矩形的特殊性质一，我们知道∠ABC和∠DCB都等于90°，又因为矩形的一般性质，对边AB和DC相等，还有公共边BC。
师：对，这样这两个三角形就全等了，从而得到AC = BD。具体证法如下：
证明：在矩形ABCD中，∠ABC = ∠DCB = 90°，又因为AB = DC，BC = CB，根据边角边，可证明△ABC≌△DCB，所以AC = BD。同样，通过证明，我们发现第二个猜想也是正确的，于是得到矩形的第二个特殊性质。
通过前面的活动，我们研究了矩形的一般性质和两个特殊性质。现在我们从边、角、对角线三个方面总结矩形的所有性质。矩形边的性质是对边平行且相等；通过特殊性质一，可知矩形的四个角都是直角；由一般性质对角线互相平分和特殊性质对角线相等，可得矩形的对角线互相平分且相等。矩形的性质在以后的学习中应用非常广泛，我们来看具体例题。
例1：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于O点，∠AOB = 120°，AB = 4厘米，求矩形对角线的长。大家思考一下怎么做。
同学们观察后会发现，矩形的对角线和直角将矩形分成了很多等腰三角形和直角三角形，比如△AOB就是等腰三角形。因为AC = BD且互相平分，所以OA = OB。又因为顶角∠AOB = 120°，根据三角形内角和与等边对等角，可求出∠OBA = ∠OAB = 30°。接下来观察Rt△DAB，∠ABD = 30°，30°所对的直角边等于斜边的一半，所以BD = 2AD = 8厘米。具体解法如下：
解法一：因为四边形ABCD是矩形，所以AC = BD，OA = OB。又因为∠AOB = 120°，所以∠ABO = ∠BAO = (180° - 120°)÷2 = 30°。在Rt△ABD中，BD = 2AB = 8厘米，所以矩形的对角线长AC = BD = 8厘米。本题还有其他方法吗？