师：同学们，大家好！今天我们来学习第十九章第一节多边形的内角和第一课时，课前请准备好草稿纸、铅笔和三角尺。下面先来看一组图片，大家能从这些图片中抽象出什么样的平面图形呢？
生：在标志中出现三角形，材料中抽象出四边形，美国五角大楼中出现五边形，密封槽中抽象出六边形，图案中出现八边形。
师：非常好。大家能否类比三角形的定义——由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形，来得出多边形的定义呢？
生：由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
师：不错，但要注意，多边形是平面图形，所以还应添加上“在同一个平面内”这个条件。那大家能类比三角形的有关概念，说一说什么是多边形的边、顶点、内角和外角吗？
生：组成多边形的线段叫做多边形的边，相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点，多边形中相邻两边组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。在顶点处，一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角。
师：很好。多边形一般按边数命名，并用它各个顶点的字母顺次排列来表示。有几条边就叫做几边形，用顶点的字母表示时，可顺时针方向表示，也可以逆时针方向表示，比如四边形ABCD或四边形DCBA，五边形ABCDE或五边形EDCBA，六边形ABCDEF或六边形FEDCBA 。比一比，观察下面两个图形，它们有什么共同点和不同点呢？大家认真思考一下。
生：共同点是它们都是四边形。
师：那不同点呢？可能有些同学观察起来比较困难，下面看老师操作。我们双向延长任意一条边，发现左边的四边形，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形。再看右边的四边形，双向延长任意一条边，当延长AB或BC时，其他各边并不在延长所得直线的同一旁，它就不是凸多边形。本教材中所研究的都是凸多边形。连接多边形不相邻的两个顶点的线段就叫做对角线，比如连接A?、A?，它就是一条对角线。那么多边形一共有多少条对角线呢？我们一起来探究一下。三角形不存在不相邻的顶点，所以它没有对角线。四边形从一个顶点出发的对角线的条数是一条。五边形从顶点A出发有两条对角线，六边形有三条对角线。n边形从一个顶点出发一共有多少条对角线呢？大家从这个规律中能看出来吗？
生：应该是n - 3条。
师：对，我们也可以这样理解，除了与顶点A?相邻的顶点A?、A?外，其他的顶点A?、A?一直到A???，一共有n - 3个顶点都可以与点A?构成对角线，所以有n - 3条对角线。那总的对角线的条数，四边形很容易得出来是两条对角线。五边形有多少条对角线呢？大家跟着画一画。
生：五条对角线。
师：那六边形请同学们再画一画。画起来可能有些困难，我们可以这样考虑，从一个顶点出发，它有三条对角线，那6个顶点应该是3×6 = 18条对角线。但这里有个问题，比如从顶点A到顶点C做了对角线AC，从顶点C到顶点A又做了同样的对角线AC，也就是说AC出现了两次，同样其他的对角线也出现了两次，所以我们应该把18÷2 = 9，所以六边形一共有9条对角线。用同样的方法我们就可以得到n边形一共有$\frac{n(n - 3)}{2}$条对角线。下面我们来探究多边形的内角和，三角形的内角和是多少度呢？
生：180度。
师：长方形、正方形的内角和是多少度？
生：它们的四个内角都是90度，所以内角和是4×90 = 360度。
师：那大家能猜想任意的四边形内角和是多少度吗？
生：360度。
师：那如何验证这个猜想呢？我们来看一个短视频，任意改变四边形的形状，会发现它的内角和都是360度。但几何中的定理，必须要进行严格的推理论证，那我们如何证明这个猜想呢？大家认真思考。
生：我们可以做一条对角线，连接AC，从四边形的一个顶点做一条对角线，把四边形分割成两个三角形，则四边形的内角和应该等于这两个三角形的内角和，即2×180度 = 360度。
师：非常好，这种方法就是把四边形问题转化为三角形问题。那除了这种方法以外，还有其他思路吗？
生：可以在四边形的内部取一点P，将点P与各顶点相连，把四边形分割成四个三角形，△APB、△BPC、△DPC、△APD 。这时候四边形的内角和应该等于这四个三角形的内角和减去点P处的周角，也就是4×180度 - 360度 = 360度。