师：各位同学，大家好。今天我们来学习 19.1 多边形的内角和第二课时。首先，我们回顾一下上节课所学内容。第一个问题，多边形的内角和是多少？它应该是（n - 2）×180°。第二个问题，多边形有多少条对角线？多边形应该有$\frac{n(n - 3)}{2}$条对角线，这里 n 是大于等于 3 的整数。接下来，第三个问题，什么是三角形的外角？我们在八年级上册是如何定义的呢？
三角形的外角是如何定义的呢？在三角形的顶点处，一边与另一边的反向延长线所组成的角，我们叫做三角形的外角。注意，在三角形的一个顶点处，它应该有两个外角，并且这两个外角互为对顶角。那么，我们当时是如何定义三角形的外角和的呢？在三角形的每一个顶点处各取一个外角，它们的和我们称为三角形的外角和。对于这里的角 1、角 2 和角 3，它们的和就是三角形 ABC 的外角和。大家还记得三角形的外角和等于多少度吗？
生：是的，三角形的外角和应该是等于 360 度。
师：那我们当时是如何证明三角形的外角和等于 360 度的呢？实际上，三角形的外角和与三角形的内角和的和是多少呢？
生：三角形的三个外角和三角形的三个内角，恰好能够构成三个平角。
师：非常好，而三个平角的度数是 180°×3 = 540°。进而我们可以得到，三角形的外角和等于三个平角的度数减去三角形三个内角的度数，即 3×180° - 180° = 360°，这样我们就证明了三角形的外角和等于 360 度。以上就是我们复习的内容。请同学们类比三角形的有关概念，想一想什么是多边形的外角以及什么是多边形的外角和呢？
我们以四边形为例。大家看大屏幕，多边形的外角可以怎样定义呢？在多边形的每一个顶点处，一边与另一边的反向延长线所组成的角，我们叫做多边形的外角。同样如图所示，我们可以得到角 A 的外角是角 E。注意，在这个多边形的一个顶点处，同样也有两个外角，并且这两个外角互为对顶角。
那么多边形的外角和又该如何定义呢？在多边形的每一个顶点处各取一个外角，它们的和我们称为多边形的外角和。对于大屏幕给出的四边形，角 1、角 2、角 3 和角 4 的和，就是四边形 ABCD 的外角和。请同学们思考，这个四边形的外角和的度数等于多少呢？其实大家可以类比我们刚刚复习的三角形的外角和定理的证明方法。
我们要研究四边形的外角和等于多少度，来看以下几个问题。问题一，任意一个外角与它相邻的内角构成什么角？大家仔细观察，角 E 是一个外角，和它相邻的内角构成什么角？
生：构成平角，也就是说互为 180 度。
师：很好。再看问题二，四边形的外角和再加上四边形的内角和等于多少度？
生：刚刚在研究问题一的时候，发现任意一个外角与它相邻的内角的和恰好是 180 度，那么四边形的外角和加上四边形的内角和，应该构成四个平角，也就是等于 4×180° = 720°。
师：非常棒。接下来看问题三，四边形的外角和可以怎样表示？又该如何计算呢？
生：四边形的外角和应该等于 4 个平角减去四边形的内角和，4 个平角的度数是 4×180°，四边形的内角和是（4 - 2）×180°，通过计算得到 2×180°，也就是等于 360 度。
师：非常好。那请同学们看这样一个猜想，三角形的外角和等于 360 度，我们可以写成 3×180° -（3 - 2）×180° = 360°。四边形的外角和也是 360 度，同样可以写成 4×180° -（4 - 2）×180° = 360°。请同学们按照这样的格式，猜想一下五边形的外角和等于多少度？六边形的外角和又是多少度？n 边形的外角和等于多少度呢？
生：五边形的外角和可以写成 5×180° -（5 - 2）×180°，算出等于 360 度。六边形的外角和可以写成 6×180° -（6 - 2）×180°，仍然等于 360 度。
师：那请同学们大胆猜想、归纳一下，n 边形的外角和等于多少度，该怎么表达呢？
生：n×180° -（n - 2）×180°，通过计算得出仍然等于 360 度。
师：我们大胆猜想 n 边形的外角和等于 360 度，n 是大于等于 3 的整数。那这个猜想正不正确呢？我们需要给出证明。下面我们简单证明一下，n 边形的外角和应该等于 n 个平角的度数减去 n 边形的内角和的度数，n 个平角是 n×180°，n 边形的内角和是（n - 2）×180°。通过计算可以得到 2×180°，也就是等于 360 度。也就是说，我们刚刚的猜想，n 边形的外角和等于 360 度是正确的。这样我们得到结论：n 边形的外角和等于 360 度。