师：同学们，你们好。在前面几节课中，我们学习了勾股定理和勾股定理的逆定理，它们之间有什么区别呢？老师来考考大家。已知一个三角形是直角三角形，能得出三角形三边满足两条直角边的平方和等于斜边的平方这样的数量关系，这是什么定理呢？这就是勾股定理，其实质是由形到数的转化。已知一个三角形三边满足两条边的平方和等于第三边的平方，从而判定这个三角形为直角三角形，这又依据什么定理呢？对，是勾股定理的逆定理，它是把数量关系转化成形的特征，能帮助我们发掘图形中的直角和直角三角形。
在上一节课，我们从定型和定性两个方面学习了勾股定理、逆定理的应用，那它们在实际生活中有哪些应用呢？本节课我们继续体会勾股定理、逆定理带来的数与形之间的美妙转化。大家知道吗？在我国古代，人们就利用勾股定理的逆定理来测量土地面积。我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何。”这道题说的是有一块三角形沙田，三条边长分别为五里、十二里、十三里，问这块沙田面积有多大？
我们根据题意画出图形，把条件标注在图上。三角形面积求法多样，本题给出三边长度，而5、12、13是我们熟悉的勾股数，可利用勾股定理的逆定理解决。在三角形ABC中，因为(5^{2}+12^{2}=169)，(13^{2}=169)，所以(AB^{2}+AC^{2}=BC^{2})。
由勾股定理的逆定理，可判定这个三角形是直角三角形，最大边13所对的角是直角，即(\angle BAC = 90^{\circ})。所以三角形ABC的面积等于(\frac{1}{2}\times)底(\times)高( = 30)，这块沙田面积为30平方里。下面把图形进一步复杂化，大家还能解决吗？例一，有一块四边形沙田，四条边长分别为(BD = 3)米，(AD = 4)米，(AC = 12)米，(BC = 13)米，(\angle D = 90^{\circ})。问这块沙田面积有多大？
四边形ACBD是不规则图形，求不规则图形面积一般有切割和添补两种方法。题目给出(\angle D = 90^{\circ})，连接AB就形成直角三角形，所以采用切割法，将四边形切割成两个三角形。三角形ABD是直角三角形，面积容易求出。
那三角形ABC面积怎么求呢？首先要知道AB的长度。连接AB，在直角三角形ABD中，由勾股定理可得，(AB = \sqrt{BD^{2}+AD^{2}} = 5)米。再看三角形ABC，三边分别为5、12、13，是一组勾股数，所以(AC^{2}+AB^{2}=BC^{2})，可判定这个三角形是直角三角形，即(\angle BAC = 90^{\circ})。四边形ACBD的面积就转化为两个直角三角形面积之和，进一步求解可得四边形ACBD面积为36平方米。
回顾解题过程，要注意什么呢？第一步已知直角求AB长度，由形到数，使用勾股定理，注意使用勾股定理时一定要标明直角或在直角三角形中。第二步为求三角形ABC面积，需证明它是直角三角形，由三边数量关系判定三角形是直角三角形，由数到形，运用勾股定理的逆定理。这个过程要注意将数字关系转化为边长数量关系。所以这道题考察勾股定理和逆定理的综合运用，同学们要清楚两者区别。下面将图形稍作变化，大家再试试。请拿出草稿纸，动手做一做。
有一块四边形沙田，已知(CD = 6)米，(AD = 8)米，(\angle ADC = 90^{\circ})，(BC = 24)米，(AB = 26)米。问这块沙田面积有多大？对于这个四边形面积，用什么方法求解呢？这里采用添补法。连接AC就形成直角三角形，四边形ABCD的面积转化为两个三角形面积之差。三角形ACD面积容易求出，那三角形ABC面积呢？连接AC，在直角三角形ACD中，根据勾股定理可求出(AC = 10)米。在三角形ABC中，三边长分别为10、24、26，恰好是勾股数5、12、13的二倍，所以也是一组勾股数，因此(AC^{2}+BC^{2}=AB^{2})。
根据勾股定理的逆定理可判定这个三角形是直角三角形，(\angle ACB = 90^{\circ})。所以四边形ABCD的面积转化为大的直角三角形ABC面积减去小的直角三角形ACD面积。进一步求解，可得沙田面积为96平方米。从例一和变式练习可以发现，对于四边形问题，通常转化为三角形问题解决。下面继续探索勾股定理、逆定理在实际生活中的其他应用。
例2，如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，远航号、海天号轮船同时离开港口，各自沿固定方向航行，远航号每小时航行16海里，海天号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后，分别位于点Q、R处，且相距30海里。已知远航号沿东北方向航行，能知道海天号沿哪个方向航行吗？
对于应用题，首先读清题意，获取有用数据，找到已知和所求。远航号每小时航行16海里，海天号每小时航行12海里，这是速度；离开港口一个半小时，这是时间。已知速度和时间能想到路程。远航号和海天号行驶的路程对应图形中的哪条线段呢？
显然，PQ即为远航号航行的路程，等于速度(\times)时间( = 24)海里。PR为海天号航行的路程，等于18海里。QR相距30海里，对应图形中(QR = 30)海里。远航号沿东北方向航行，东北方向即北偏东(45^{\circ})角，对应图形中(\angle 1 = 45^{\circ})。
已知条件都罗列清楚了，再看所求，海天号沿哪个方向航行，对应图形是要求出(\angle 2)的度数。(\angle 1)已知，所以只需求出(\angle QPR)即可。
现在把所有已知和所求标注在图形上，这道题就抽象出已知三角形三条边长求角度的数学模型，大家想到解决方法了吗？对，利用勾股定理的逆定理。下面老师给出具体解题过程。