师：同学们好，在前两次课的学习中，我们发现实际生活中有很多问题可以借助一元二次方程来解决。这节课，我们继续学习一类特殊方程在实际生活中的应用。大家先观察屏幕上的这个方程，它有什么特点呢？对，在七年级时，我们学过像这种分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。同学们还记得如何求分式方程的根吗？
生：可以先把方程两边同时乘以方程中各分式的最简公分母，将分式方程转化为整式方程。
师：非常好。比如这道题，二项分式的分母$x^2 - 1$可以分解为$(x + 1)(x - 1)$。所以我们只需在方程两边同时乘以最简公分母$(x + 1)(x - 1)$，得到$(x + 1)^2 - 4 = (x + 1)(x - 1)$。进一步去括号整理可得$x = 1$。那么$x = 1$就是这个分式方程的根吗？
生：解分式方程时要检验，因为求得的整式方程的根，可能使原来分式方程的分母为$0$，导致分式方程无意义。
师：没错，把$x = 1$代入方程的最简公分母，若为$0$，$x = 1$就是原分式方程的增根。这道题原方程无解。下面我们通过这个例子，一起回忆解分式方程的一般步骤。第一步去分母，在原方程两边同时乘以各分式的最简公分母，将分式方程转化为整式方程；第二步解这个整式方程；第三步验根，把整式方程的根代入原方程的最简公分母，判断是否为$0$；第四步下结论，舍去使公分母为$0$的增根。这就是七年级学过的解分式方程的一般步骤：去分母、解方程、验根、下结论。在实际生活中，许多问题也需通过分式方程解决。下面看一个具体问题，课本$43$页的例题，一组学生组织春游，预计共需费用$120$元，后来又有两人参加进来，费用不变，这样每人可以少分摊$3$元。问原来这组学生的人数是多少？这种问题在生活中常见，活动总费用不变，参加人数增多，每人分摊费用就会减少。我们在表格里整理这题信息，无论是原来还是现在，总费用都是$120$元。设原来这组学生人数为$x$，现在人数就是$x + 2$。总费用、人数和每人费用这三个量，存在基本关系：总费用 = 人数×每人费用，所以每人费用 = 总费用÷人数。那么原来每人需分摊的费用是$\frac{120}{x}$元，现在每人需分摊的费用是$\frac{120}{x + 2}$元。本题等量关系是什么呢？
生：原来这组学生每人分摊的费用减去加人后该组学生每人分摊的费用等于$3$元。
师：对，由此可列出方程。现在我们根据分析思路，整理本题解答过程。首先设这组学生原来人数为$x$人，那么每人分摊费用是$\frac{120}{x}$元，增加两人后，每人分摊费用是$\frac{120}{x + 2}$元。根据增加两人后每人少分摊$3$元，得到方程$\frac{120}{x} - \frac{120}{x + 2} = 3$。按照分式方程解法求解，先在方程两边同时乘以最简公分母$x(x + 2)$，也可把方程两边都除以$3$化简系数，整理后得到$x^2 + 2x - 80 = 0$，这是一元二次方程。大家会优先用哪种方法求这个方程的解呢？
生：优先使用因式分解法。
师：解得$x_1 = -10$，$x_2 = 8$。但这两个根都是最终结果吗？因为是分式方程，要判断这两个根是否是原分式方程的根，把两根代入原方程最简公分母检验。经检验，$x_1 = -10$，$x_2 = 8$都是原方程的根。不过这是实际问题，$x$表示原来学生人数，所以$x_1 = -10$不符合题意，$x$最终等于$8$。回答题目问题，原来这组学生为$8$人。下面我们通过这个例子，归纳利用分式方程解应用题的一般步骤。首先分析题目数量关系，设出适当未知数；第二步依据题中等量关系列出正确方程；第三步解这个方程；第四步从两方面检验整式方程的根是否符合题意，一方面判断整式方程的根是否是分式方程的根，另一方面判断所求根有无实际意义；最后回答题目所问问题。
如果老师把问题变动一下，题目已知条件不变，把例题问题由原来学生人数改为原来每人分摊的费用为多少元，怎么解决呢？有同学可能说，求出学生人数后，用总费用$120$元除以原来学生人数$8$人，得到$15$元，这是间接做法。可不可以直接设每人分摊费用来解决呢？我们一起分析，总费用$120$元不变，直接设原来每人分摊费用为$y$元，依据每人少分摊$3$元，现在每人分摊费用为$y - 3$元。由总费用 = 人数×每人费用，可得人数 = 总费用÷每人费用，原来人数可表示为$\frac{120}{y}$，现在人数可表示为$\frac{120}{y - 3}$。利用哪个条件列方程呢？
生：后来又有两人参加进来，后来学生人数减去原来学生人数等于$2$。