师：同学们，大家好！上节课我们学习了平行四边形的基本概念，大家都掌握了吗？今天这节课，我们又将学习什么呢？一起来看看。同学们，回忆一下我们以前的学习经历，知道研究几何图形的一般思路是什么吗？
生：先学习图形的基本定义，在研究图形定义的基础上，探究图形的基本性质，接着探索图形的判定条件。
师：非常好！我们在学完平行四边形的定义以后，接下来应当学习什么？
生：平行四边形的基本性质。
师：对！那么对于平行四边形，首先从定义出发，同学们可以得到它的性质吗？我们先来回忆一下平行四边形的定义。
生：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
师：对于平行四边形ABCD，我们用平行四边形的符号和它的顶点字母记作“?ABCD”，读作“平行四边形ABCD” 。用几何语言叙述就是：因为AB平行于CD，AD平行于BC，所以四边形ABCD是平行四边形。如果已知四边形ABCD是一个平行四边形，又能得到什么结论呢？
生：AB平行于CD，AD平行于BC。
师：没错，也就是已知四边形是平行四边形，我们可以得到它的两组对边分别平行的结论，这是平行四边形的第一个性质，它的两组对边分别平行。那平行四边形还有哪些性质呢？同学们考虑一下，我们研究三角形的性质是从哪些方面考虑的？
生：从三角形的边和角来考虑。
师：很好，刚才平行四边形对边平行也是从边的角度考虑问题的，所以研究平行四边形，我们当然也是从边和角的角度来进行考虑。请大家在纸上先画一个平行四边形。好的，接下来请同学们观察你画的平行四边形，除了两组对边分别平行以外，它的边之间还有什么关系？它的角又有什么关系呢？
生：两组对边长度相等，两组对角大小也相等。
师：这是我们观察得到的结论，下面我们要检验一下这个结论对不对。请同学们拿出直尺和量角器度量一下，看看和我们观察得到的结论是否一致。
生：（度量后）通过观察得到的结论，度量后发现也是完全正确的。
师：这样我们就得到猜想，平行四边形的两组对边分别相等，两组对角也分别相等。这是通过观察和测量得到的猜想，要想证明它的科学性，需要进行严格的几何证明。同学们想一想，如何通过几何推理来证明这个结论呢？（老师画出平行四边形ABCD，连接对角线AC）老师连接了对角线AC，这样一来，这个平行四边形被分成了几个三角形？
生：两个三角形。
师：同学们可以通过三角形的知识来证明我们的猜想吗？
生：可以通过全等三角形的知识来证明。
师：对！在这两个三角形当中，因为它是平行四边形，所以对边平行。AD和BC平行，根据两直线平行内错角相等，我们就得到角1等于角2，同理又得到角3等于角4 。AC边又是△ABC和△CDA的公共边，所以全等的三个条件都找到了，这样我们就可以得到△ABC全等于△CDA。三角形全等以后，根据全等三角形的性质，全等三角形对应边相等，对应角相等，这样我们就得到AD等于BC，AB等于CD，同时角B等于角D 。这样通过刚才的证明，我们就验证了我们的猜想。那平行四边形还有一组对角∠BAD和∠BCD，如何证明这两个角也相等呢？
生：根据刚才的结论，把相等的角1和角2，角3和角4分别相加，得到角1 +角4等于角2 +角3，也就是∠BAD等于∠DCB，证明了平行四边形的另外一组对角也相等。
师：非常棒！同学们想一想，如果不添加辅助线，可以证明这个结论吗？不添加辅助线如何证明平行四边形的对角相等呢？
生：利用平行线的性质，AD和BC平行，根据两直线平行同旁内角互补得到角A和角B是互补的。接着AB和DC也平行，角A和角D也是互补的，根据补角的性质，同角的补角相等，就可以得到角B和角D相等。同样的道理也可以证明出角A等于角C 。
师：通过以上严格的几何证明，我们发现刚才的猜想是完全正确的，这样我们就得到了平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别相等，平行四边形的两组对角分别相等。下面我们把平行四边形的性质用几何语言叙述一遍。首先平行四边形的对边平行用几何语言是这样叙述的：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD平行于BC，AB平行于DC；平行四边形的对边相等，用几何语言这样叙述：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD等于BC，AB等于DC；平行四边形的对角相等用几何语言这样叙述：因为四边形ABCD是平行四边形，所以角A等于角C，角B等于角D 。其实除了对角相等的结论以外，我们还发现平行四边形的邻角是互补的。根据平行四边形的两组对边分别平行，由两直线平行同旁内角互补，可以得到平行四边形邻角互补的结论。以上我们学习了平行四边形的边与角的性质，并且学会了几何语言表述，再次学习了文字语言、图形语言与符号语言这三种重要的数学语言。接下来我们来看几道典型的例题，看看如何运用平行四边形的性质来解决问题。例一，如图，在平行四边形ABCD中，如果角A等于130度，那么求角B、角C和角D的度数。
生：根据平行四边形的性质，平行四边形对角相等，邻角互补，角B和角A是互补的，所以角B等于180度减130度等于50度，角C和角A是一组对角，所以角C和角A相等也等于130度，角D和角B是一组对角，所以角D和角B相等也等于50度。
师：非常好！第二小题，在同样的平行四边形当中，如果角A +角C等于200度，求角A和角B的度数。
生：角A和角C是平行四边形当中的一组对角，根据平行四边形对角相等的结论，角A和角C相等，那么角A和角C都等于100度，角B和角A是互补的，所以角B等于180度减掉100度等于80度。
师：很棒！第三小题，如果角A与角B的比为5 : 4，求角C和角D的度数。角A和角B在平行四边形当中是不是一组邻角？
生：是，平行四边形的邻角互补和为180度，比值是5 : 4 。假设角A等于5份，角B等于4份，这样可求出每一份是20度，那么角A是5份就是100度，角B是4份就是80度。角A和角C是一组对角，两者相等，所以角C也等于100度；角B和角D也是对角，两者相等，所以角D也等于80度。
师：非常正确！第四小题，如果AB等于3，BC等于5，求这个平行四边形的周长。
生：根据平行四边形对边相等的结论，AB和CD相等应该都等于3，BC和AD相等应该都等于5 。所以这个平行四边形的周长实际上应该是一组邻边长度之和的两倍，也就是（3 + 5）×2 = 16。
师：这道题目考察了平行四边形性质的方方面面，考察了平行四边形对角相等、邻角互补的结论，并且我们也知道了平行四边形一组邻边的长度之和等于周长的一半，反之求周长，我们可以求出邻边的长度之和，再乘以2就可以了。再来看下一题，如图，在平行四边形ABCD当中，DE垂直于AB，BF垂直于CD，垂足分别为E、F 。求证AE等于CF 。同学们想一想，这道题目应该如何解答？
生：要证明线段相等，发现要证明相等的线段分别在两个三角形DAE和BCF当中，如果能够证明这两个三角形全等，问题就可以解决了。
师：对！那现在我们来寻找全等的条件，首先有两个垂直，就是两个直角，这是一个条件。接着我们再来寻找，因为ABCD是一个平行四边形，所以它们的对角相等，角A等于角C 。第二个条件找到了，还有什么条件呢？