师：同学们，大家好。今天我们继续学习初中数学，人民教育出版社八年级下册第18章平行四边形全章小结的第二课时。
上节课，我们复习了平行四边形的概念，从边、角、对角线方面回顾了其性质，还总结了判定定理。由平行四边形角的特殊化，一个角为直角，得到特殊平行四边形矩形，复习了矩形性质与判定定理，并做了相关题目。我们知道，将平行四边形边特殊化，一组邻边相等，会得到菱形；若把平行四边形边和角同时特殊化，就得到正方形，通过证明正方形性质定理及其逆命题，得出正方形判定定理。
对于菱形和正方形在解题中如何应用，解决平行四边形问题有哪些需注意的数学思想方法，带着这些疑问，我们开始今天的学习。
首先看菱形性质与判定的例题。如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC = 8厘米，BD = 6厘米，DH⊥AB于H，求高DH的长。同学们，拿起笔自己做一下。
题目告知四边形ABCD是菱形，AC = 8厘米，BD = 6厘米。根据菱形性质，其对角线互相垂直平分，所以OA = 1/2AC = 4厘米，BO = 1/2BD = 3厘米，且AC⊥BD。在直角三角形AOB中，根据勾股定理，AB = √(AO2 + BO2) = √(32 + 42) = 5厘米，这样就求出了菱形边长。那怎么求高DH呢？我们用面积法。在三角形ABD中，它的面积既可以表示为以AB为底边、DH为高，也能表示为以BD为底边、AO为高。即三角形ABD的面积 = 1/2 × DH × AB = 1/2 × AO × BD，化简得DH = (AO × BD) / AB。这里AB = 5，AO = 4，BD = 6，所以DH = 24 / 5厘米。
同学们，做对了吗？下面看练习一，菱形ABCD，AB = 2，∠DAB = 60°，E是AB中点，P是AC上任一点，求PE + PB的最小值。同学们，开动脑筋想一想。
这道题求PE + PB的最小值，是不是感觉似曾相识？上学期学轴对称时，我们以将军饮马问题为载体，研究过最短路径问题。解决思路是利用轴对称和两点之间线段最短的性质，把线段转化为一条线段的长度。
我们运用轴对称找B点关于线段AC的对称点，其实就是点D。接着连接BD，再连接点D和点E。线段ED与线段AC相交的点就是我们要找的P点。同学们，能求出PE + PB的最小值了吗？
题目关键信息∠DAB = 60°，菱形邻边相等，AB = AD，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，所以三角形ABD是等边三角形。根据轴对称性质，PE + PB = PE + PD = DE。怎么求DE呢？已知AE = 1/2AB = 1，AD = 菱形边长 = 2。在三角形AED中，这是个直角三角形，利用勾股定理，DE = √(22 - 12) = √3，所以这道题答案是√3。
同学们学会了吗？学了菱形性质及判定相关问题，下面看正方形性质与判定的考题。已知正方形ABCD，以CD为边作等边三角形CDE，求∠AED的度数。同学们先画出图形再计算，画出几种图形呢？画出一种图形的同学，很遗憾少了一种情况；画出两种图形的同学，考虑得很全面。这道题要利用分类讨论思想解题。
这道题有两种情况。第一种，当点E在正方形ABCD内时，也就是图一。因为四边形ABCD是正方形，所以AD = CD，∠ADC = 90°。又因为三角形CDE是等边三角形，所以DC = DE，∠CDE = 60°。由此可得∠ADE = 90° - 60° = 30°，DA = DE，所以三角形ADE是等腰三角形。根据等边对等角，∠DAE = ∠DEA = 1/2 × (180° - ∠ADE) = 75°，这是一种情况。
第二种情况，当点E在正方形ABCD外部时，因为三角形CDE是等边三角形，所以∠EDC = 60°。同理可得DE = DC = AD，∠ADC = 90°，所以∠ADE = 90° + 60° = 150°。对于等腰三角形ADE，∠DAE = ∠DEA = 1/2 × (180° - ∠ADE) = 15°。所以这道题答案是15°或75°。
这道题运用了分类讨论思想，同学们考虑周全了吗？接下来看练习二，AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB = AE，EF⊥AC并交BC于F。求证EC = EF = FB。同学们先思考一下。
因为四边形ABCD是正方形，根据正方形性质，∠B = 90°，∠ACB = 45°。又因为∠AEF = 90°，AB = AE，AF是公共边，所以三角形ABF和三角形AEF全等。根据全等三角形对应边相等，可得BF = EF。又因为∠FEC = 90°，所以∠EFC = 45°。根据等角对等边，EC = EF。观察可得这三边相等，即EC = EF = FB。同学们做对了吗？