师：同学们大家好，欢迎来到数学空中课堂。今天我们要学习初中数学人教版八年级下册第19章第二节一次函数第一课时——正比例函数的相关知识。上一节我们已经学习了函数的基础知识，现在回忆一下相关概念：一、什么是函数？二、什么是函数的解析式？
在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x的每个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，我们就说x是自变量，y是x的函数。
那什么是函数的解析式呢？用关于自变量的数学式子表示函数和自变量之间的关系，这种式子叫做函数的解析式。函数的解析式是描述函数的常用方法。在学习过程中，我们见过各种各样的函数解析式，它们有什么共同特征和特点呢？今天老师就带同学们学习既简单又常用的一类函数——正比例函数。
首先，请同学们看大屏幕上的照片，这是老师收藏的一张很有纪念意义的车票，是2011年6月30日京沪高铁全线开通的首日票。京沪高铁是我国八横八纵高铁网的重要通道之一。2011年开始运营的京沪高速铁路全长1318千米，设列车平均速度为300千米每小时。考虑以下问题：
一、乘京沪高铁列车从始发站北京南站到终点站上海虹桥站约需多少小时？结果保留小数点后一位。
二、京沪高铁列车的行程y（单位：千米）与时间t（单位：小时）之间有何数量关系？
三、京沪高铁列车从北京南站出发，2.5小时后，是否已过了距始发站1100千米的南京南站？请同学们思考。
乘京沪高速列车从始发站北京南站到终点站上海虹桥站约需要多少小时？结果保留小数点后一位。对于这个问题，根据路程速度的计算公式，时间等于路程除以速度，所以从北京南站到终点站上海虹桥站所需时间为1318÷300≈4.4小时。
现在看第二个问题，京沪高铁列车的行程y（单位：千米）与运行时间t（单位：小时）之间有何数量关系？结合之前学过的函数解析式书写，能正确写出这个关系式吗？同样，根据路程等于速度乘以时间，可得出y = 300t。但在实际问题中，要考虑取值范围。刚刚算出行驶完全程列车所需时间为4.4小时，所以自变量t的取值范围是t≥0且t≤4.4。同学们，你们想到了吗？
最后，请同学们一起来计算第三个问题，京沪高铁列车从北京南站出发2.5小时后，是否已经过了距始发站1100千米的南京南站？在这里，把t = 2.5直接代入关系式，得出y = 300×2.5 = 750千米。显然，列车尚未到达距始发站1100千米的南京南站。
以上我们研究了行程问题中函数的应用，函数应用涉及各个领域。接下来继续探究下列问题中变量之间的对应关系，是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式。
先看一个几何问题。圆的周长l随半径r的变化而变化。周长l随半径r的变化而变化，符合函数定义，是函数关系。根据周长计算公式，可得出函数解析式为l = 2πr。
接下来这道题要用到物理学知识。铁的密度为每立方厘米7.9克，铁块的质量m（单位：克）随它的体积v（单位：立方厘米）的变化而变化。质量m随体积v的变化而变化，符合函数定义，是函数关系。根据质量计算公式，质量等于密度乘以体积，可求出本题函数解析式是m = 7.9v。
这是老师日常工作中常见的画面。每个练习本的厚度为0.5厘米，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：厘米）随练习本的本数n的变化而变化。由于总厚度h随练习本的本数n的变化而变化，符合函数概念，是函数关系。练习本的总厚度h等于每本练习本的厚度乘以练习本的本数，所以可得出函数解析式为h = 0.5n。
下面解决一个与温度相关的问题，冷冻一个0摄氏度的物体，使它每分钟下降2摄氏度。物体的温度T（单位：摄氏度）随冷冻时间t（单位：分钟）的变化而变化。在这里，温度T随时间t的变化而变化，符合函数概念，显然也是函数关系。根据题意，物体的温度T等于每分钟下降2摄氏度乘以下降的时间，把下降2摄氏度记作 - 2，得出函数解析式为T = - 2t。
认真观察以上出现的四个函数解析式，分别把函数、常数和自变量填入对应的表格中，请同学们开始填表。
第一个函数解析式中，自变量是r，l是r的函数，常数是2π。这里的π从形式上看像字母，但它表示圆周率，是无理数，属于常数。
第二个函数解析式m = 7.9v，自变量是v，m是v的函数，常数是7.9。
第三个函数解析式h = 0.5n，自变量是n，h是n的函数，常数是0.5。
最后一个函数解析式，自变量是时间t，温度T是时间t的函数，常数是 - 2。
这些函数关系式和开始行程问题中y = 300t的函数表达式有何共同特征？用语言加以描述，常数都可以取哪些值？
通过观察发现，这里的常数和自变量之间都是用乘号连接，都是常数与自变量的乘积形式。常数既可以取正数，也可以取负数。如果把这些常数记为k，能用数学式子表达吗？函数等于常数乘以自变量，自变量通常用x表示，函数用y表示，常数用k表示，所以y = kx。
这里的常数有何要求呢？常数既可以取正数，也可以取负数，但当常数取0时，自变量乘以0，结果总是0。所以规定k≠0。请尝试给这类特殊的函数下一个定义吧。
一般地，形如y = kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。在y = kx（k≠0）中，比例系数是k，自变量是x。整个函数解析式就是正比例函数的一般形式。
那么在y = kx（k≠0）中，正比例函数的自变量取值范围是什么呢？这与开始行程问题中y = 300t的自变量取值范围有何不同呢？在这里，自变量取值范围是一切实数。y = 300t中t的取值范围是0≤t≤4.4，是因为在实际问题中，自变量取值范围要考虑实际情况。
在函数表达式y = kx（k≠0）中，能指出自变量的系数是什么，次数是什么吗？这里自变量的系数是k，也就是比例系数，次数为1，可以省略不写。如何理解y与x成正比例，即y是x的正比例函数y = kx（k≠0）？反之，若y = kx（k≠0），则y与x成正比。
经过前面层层深入的探究，一起来归纳正比例函数y = kx（k≠0）的结构特征：
一、自变量x的系数是k，k≠0。
二、自变量x的次数是1。
三、一般情况下，自变量x的取值范围是一切实数。这里要注意，如果函数解析式放在实际问题中，还要考虑自变量x要符合实际情况。