师：同学们好，今天我们一起来学习初中数学人教版八年级下册第19章小结课第一课时。首先，我们梳理一下本章知识结构图。本章通过建立数学模型，研究现实问题中变量之间的相互联系，体会函数是刻画现实世界变化规律的重要模型，其中一次函数是最基本的函数，其图像是一条直线，利用函数图像能直观分析一次函数的增减性，进而应用一次函数解决相关实际问题。本节课复习方向为一次函数的相关概念、图像及性质，以及利用待定系数法求一次函数的解析式。接下来开始要点梳理。
常量与变量，在一个变化过程中，数值发生变化的量是变量，数值始终不变的量是常量。那什么是函数呢？在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。这里要提醒，函数定义包含对应值的存在性和唯一性双重含义，即单值对应。
利用描点法画函数图像，步骤是列表、描点、连线。下面观察下列变量之间的对应关系，哪些是函数？请同学们在草稿本上写下答案。大家脑海中有函数定义，抓住关键的单值对应。我们发现1、2、4表示的都是函数关系，只有3不是函数。因为1、2、4均满足当一个变量每确定一个值时，另一个变量都有唯一确定的值与其对应；而第三个图像中，当x确定一个值时，y出现两个值与其对应，不符合唯一性，所以它不是函数。
从上面三个函数，我们认识到函数的表示方法有解析式法、列表法和图像法。一次函数与正比例函数的定义：一般形如y = kx + b（k、b是常数，k ≠ 0）的函数，叫做一次函数。这里特别强调，一次项系数k不能等于0，常数项b可以等于0。若b = 0，函数就变成y = kx，此时为正比例函数。这里要注意两点：一是解析式中自变量x的次数是一次；二是自变量的系数应满足k ≠ 0。
学以致用2：函数y = (m + 2)x + (m2 - 4)为正比例函数，则m等于多少？对比正比例函数定义，由一次项系数不为0得m + 2 ≠ 0，由常数项必须等于0得m2 - 4 = 0，解得m = 2。若函数y = (m - 1)x^|m| + 2是一次函数，则m的值是哪个选项？与上题类似，对比一次函数定义，得|m| = 1且m - 1 ≠ 0，从而解得m = -1，故答案选B。
确定自变量的取值范围：如果解析式中含自变量的部分是整式，自变量取值范围是全体实数；如果含自变量的部分是分式，自变量应取使分母不为0的实数；如果含自变量的部分是二次根式，自变量应使被开方数大于或等于0的实数；在实际问题中，函数取值必须使实际问题有意义。
接下来做练习：函数y = √(x + 2) / (x2 - 4)中自变量x的取值范围是什么？根据复习知识，函数解析式含分式，自变量取值应使分母不为0；含二次根式，自变量取值应使被开方数大于或等于0，由此得x2 - 4 ≠ 0且x + 2 ≥ 0，解得x > -2且x ≠ 2，故答案选D。
一次函数的图像及性质，我们以表格形式梳理。一次函数表达式y = kx + b（k、b是常数，k ≠ 0），其图像与k、b相关。当k > 0，b = 0时，图像经过一、三象限；当k > 0，b > 0时，图像经过一、二、三象限；当k > 0，b < 0时，图像经过一、三、四象限。观察发现，此时从左到右图像呈上升趋势，即y随x的增大而增大。当k < 0，b = 0时，图像经过二、四象限；当k < 0，b > 0时，图像经过一、二、四象限；当k < 0，b < 0时，图像经过二、三、四象限，从左到右图像呈下降趋势，即y随x的增大而减小。
由图可知，一次函数中系数k决定直线的倾斜方向和增减性，b决定直线与y轴相交的位置。当b > 0时，函数与y轴交于正半轴；当b < 0时，函数与y轴交于负半轴；当b = 0时，一次函数与y轴交于原点。画一次函数图像，前面复习了描点法，一次函数图像是直线，两点确定一条直线，所以可以采用两点法。一次函数y = kx + b（k、b是常数，k ≠ 0）是经过点(0, b)和(-b/k, 0)的一条直线；正比例函数y = kx（k ≠ 0）是经过点(0, 0)和(1, k)的一条直线。
我们可以在平面直角坐标系中描出(0, b)和(-b/k, 0)，连接两点作出一次函数y = kx + b的图像；同样，描出点(0, 0)和(1, k)，连接两点作出正比例函数y = kx的图像。除两点法外，还可以通过平移法画一次函数图像。对于直线y = kx + b，向上平移m个单位长度，变成直线y = kx + b + m；向下平移m个单位长度，变成直线y = kx + b - m；向左平移m个单位长度，变成直线y = k(x + m) + b；向右平移m个单位长度，变成直线y = k(x - m) + b。平移口诀为“上加下减，左加右减”，即向上平移在常数项上加平移距离，向下平移在常数项上减平移距离，向左平移在自变量里加平移距离，向右平移在自变量里减平移距离。观察图像发现，经过平移前后的直线互相平行，k始终不变，即如果两条直线中k相同，但b不同，则这两条直线互相平行，反过来也成立。强化训练，夯实基础。
直线Y1 = Ax + b与直线Y2 = Bx + a在平面直角坐标系内的大致图像是哪个选项？图中红色直线代表Y1，蓝色直线代表Y2。由图像可知，四个选项中的Y1都位于一、二、三象限，都满足a > 0，b > 0。a选项中Y2位于一、二、四象限，故b < 0，a > 0，此时b的范围矛盾，排除a选项；b选项中Y2位于一、三、四象限，故b > 0，a < 0，此时a的范围矛盾，排除b选项；c选项中Y2位于二、三、四象限，故b < 0，a < 0，此时a和b的范围均矛盾，排除c选项。所以只能选d选项。再利用一次函数图像及性质分析，d选项中Y2也位于一、二、三象限，故b > 0，a > 0，从两个图像得出的a和b的范围一致，故正确答案选d。
接下来看第6题，下列图像中不可能是一次函数y = Mx - (M - 3)的图像是哪个？提醒，这题选不可能的。a图像直线经过一、二、三象限，可得M > 0且-(M - 3) > 0，解得0 < M < 3；b图像直线经过一、三象限，可得M > 0且-(M - 3) = 0，解得M = 3；c图像直线经过二、三、四象限，可得M < 0且-(M - 3) < 0，此时无解；d图像直线经过一、二、四象限，可得M < 0且-(M - 3) > 0，解得M < 0。由此可知，第三个不可能是题目所给一次函数图像，本题正确答案选C。
已知y是x - 1的正比例函数，当x = -3时，y = 12。求这个解析式。已知y是x - 1的正比例函数，结合正比例函数定义，运用整体思想，先设函数解析式为y = k(x - 1)，把x = -3，y = 12代入，得12 = k(-3 - 1)，解得k = -3，所以这个解析式是y = -3x + 3。这就是用待定系数法求函数解析式，回忆一下，用待定系数法求函数解析式分哪几步？第一步设出函数解析式，可能用整体思想；第二步列，将已知x和y的值代入所列解析式，列出方程或方程组；第三步解所列方程或方程组求出值；第四步代，将求出的值代入所设解析式并还原。总体分设、列、解、代这四步。
乘胜追击，挑战自我。第一题，某天小明骑自行车上学，途中自行车发生故障，修车耽误一段时间后继续骑行，按时赶到学校。如图描述他上学情景，下列说法错误的是哪个？先弄清楚图像信息，看横轴和纵轴，横轴代表小明离家时间，纵轴代表小明离家距离。依据图像，0 - 10分钟离家距离不断增大，10分钟时离家1千米；10 - 15分钟离家距离不变，因为自行车故障在修车；15 - 20分钟离家距离又增大，此时小明修好车继续去学校，20分钟时到达学校，学校离家2千米。具体过程分析清楚了，来看选项。修车时间为15分钟，从图像分析10 - 15分钟修车，故修车时间为5分钟，所以a错误；b学校离家距离为2千米，c到达学校共用时间20分钟，d自行车发生故障时离家距离为1千米，均从图像得出，都正确，故本题正确答案选a。提醒同学们，利用函数图像解决实际问题，关键在于正确理解函数图像横纵坐标代表的实际意义，根据图像理解问题发展过程，特别注意图像交点或拐点的意义。
继续看第二题，设点(-1, m)和点(1/2, n)是直线y = (k2 - 1)x + b（k > 0且k < 1）上的两个点，则m、n的大小关系是什么？已知k > 0且k < 1，此时k2 < 1，所以k2 - 1是负数，该直线y随x的增大而减小，而 -1 < 1/2，所以m > n。来看解题过程，做对了吗？
一次函数y = kx + b（k ≠ 0）向左平移三个单位后得到直线y = 2x，则平移前的直线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少？本题已知平移后直线解析式，先逆用平移规律得到原来函数解析式，再求与坐标轴围成的三角形面积。一起来解析，一次函数y = kx + b（k ≠ 0）向左平移3个单位后得到直线y = 2x，可理解成将直线y = 2x向右平移三个单位后得到一次函数y = kx + b。运用平移口诀“左加右减”，得到平移前解析式为y = 2(x - 3) = 2x - 6。分别令横坐标和纵坐标为0，求出与坐标轴交点为(0, -6)和(3, 0)。平移前直线与两坐标轴围成的三角形是直角三角形，其面积是1/2 × 3 × 6 = 9。小结一下，求直线与坐标轴围成三角形面积的方法：一是求出直线与两坐标轴的交点坐标，由点坐标求出线段长；二是利用三角形面积公式求解。
接下来进入变式训练，已知一次函数图像与x轴交于点B(2, 0)，与y轴交于点A(0, a)，且S△AOB = 4。求一次函数解析式。本题没告诉a的具体位置，结合图像分析，点A有两种位置，一种在y轴上方为蓝色三角形，一种在y轴下方为红色三角形，即一次函数有两种不同位置，所以要分类讨论。
看解题过程，解：因为点B(2, 0)，点A(0, a)，则OB = 2，OA = |a|，所以S△AOB = 1/2 × OB × OA = 1/2 × 2 × |a| = 4，所以|a| = 4，a = ±4，则点A为(0, 4)或(0, -4)。
设一次函数解析式为y = kx + b，把(2, 0)和(0, 4)代入，可求得y = -2x + 4；把(2, 0)和(0, -4)代入，可求得y = 2x - 4。所以一次函数解析式为y = -2x + 4或y = 2x - 4。再次提醒，一次函数图像与坐标轴所围成的面积问题，往往要进行分类讨论。
好，以上就是本节课内容。最后小结一下，这节课复习了一次函数的概念、图像及性质，以及利用待定系数法求函数解析式，主要用到数形结合的方法。在运用函数，特别是一次函数相关内容解决问题时，体会了图像与现实生活的紧密联系。今天的复习就到这，同学们，再见。