师：同学们大家好，今天这节课我们一起来学习17.1勾股定理的第三课时。经过前几节课的学习，我们已经掌握了勾股定理的内容，并能用它进行直角三角形中边长的计算。在计算过程中，要分清直角边和斜边，及时对公式进行变形。今天这节课，我们将继续深入研究勾股定理的相关应用。
首先，我们来解决一个遗留问题。八年级上学期，我们学过全等三角形的判定——斜边、直角边判定定理，又称HL判定定理，它的内容是什么？大家还记得吗？
生：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
师：当时我们是用什么方法验证这个定理的呢？
生：通过画图度量的方式画直角三角形A'B'C'，使A'B' = AB，A'C' = AC 。通过测量第三条边的长度，发现B'C'与BC相等，所以得到两个三角形全等。
师：大家知道，画图、度量等操作性方法在解决问题时非常直观方便，但不够精确。要说明一个命题的正确性，需要通过推理进行论证。学习勾股定理之后，同学们有没有办法说明B'C'与BC长度相等呢？带着这个思考，我们来完成这个定理的证明。首先要画出图形，写出已知、求证。已知两个直角三角形ABC和A'B'C'，∠C = ∠C' = 90°，AB = A'B'，AC = A'C' 。求证：△ABC ≌ △A'B'C' 。根据刚才的分析，大家不难想到可以利用勾股定理计算出线段BC和B'C'的长度。因为斜边和直角边AC、A'C'已经对应相等，这样就能得到BC与B'C'长度也相等。进而利用边边边判定定理，不难得出两个三角形全等。完成这个命题的证明后，我们得到了怎样的启发呢？
生：在具体问题中，可以建立直角模型，通过计算说明边长相等，这是证明线段长相等的有效途径。
师：带着这个启发，我们来看例一。如图，在△ABC中，∠C = 60°，AB = 14，AC = 10，求线段BC的长度。同学们可以思考一下。
（同学们思考一段时间）
师：好，相信同学们有了思考成果，我们一起来分析这道题。已知两条边和一个角，求第三条边BC的长度，但原三角形中没有直角，无法直接用勾股定理计算。大家肯定想到可以通过做高的方式建立直角三角形模型，怎样做高最方便呢？结合已知条件，从A点向BC作高最合理。这样就有了两个直角三角形ACD和ABD 。又已知∠C = 60°，所以∠CAD = 30°，利用30°角直角三角形的性质可求出线段CD的长度为5 。在Rt△ACD中，利用勾股定理算出AD = 5√3 。同时在Rt△ABD中，也能算出BD = 11 ，所以要求的BC长就等于BD与CD的和，即16 。这道题的求解带给我们怎样的启发呢？
生：在三角形中，通过作高可以构建直角三角形模型，进而利用勾股定理求出所需线段长度。
师：这个方法需要大家通过实践掌握。接下来，老师带大家认识一位老朋友——数轴。数轴上的点与什么一一对应呢？
生：数轴上的点与实数一一对应。
师：如果要求大家在数轴上标出 -23/2和√2所对应的点，同学们能做到吗？
生： -23/2是有理数点，位置好找，√2所对应的点是无理数点，不好找。
师：为完成这个问题，我们可以分两步。第一步，作出长度为√2的线段；第二步，在数轴上画出√2所对应的点。下面我们分步操作。首先看步骤一，做长为√2的线段。根据勾股定理，若直角三角形的直角边是1和1，则斜边长即为√2 。所以我们要做出一个直角边长都是1的直角三角形，此时斜边就是长为√2的线段。在此图形基础上，如果做出一个直角边分别为√2和1的直角三角形，则它的斜边就是长为√3的线段。继而以√3和1为直角边长，斜边就是长为√4的线段。重复以上操作，还可以做出长为√5、√6、√7、√n的线段。由这些线段组成的图形很像一个海螺，我们把它称为数学海螺图。到这里我们完成了步骤一，接下来看步骤二，在数轴上画出√2所对应的点。借助刚才的方法，我们只需在数轴上构建一个直角三角形，使它的斜边长为√2就行。怎样画图简便呢？可以按以下步骤：一、在数轴上做线段OA，长度为1；二、过点A作直线l垂直于OA，并截取线段AB = 1；三、连接OB，则OB = √2 ，这样就做出了长为√2的线段；四、以O为圆心，OB为半径画弧，与数轴正半轴的交点即为√2所对应的点。用同样方法，还可以画出表示√3的点，同学们也可以尝试画出表示√4、√5、√6的点，继续下去就能画出数轴上表示√n的点。下面带着这个启发来看例2 。
在数轴上画出表示√13的点。借助刚才的画图过程，若能将√13表示为直角三角形的斜边，且两条直角边都是正整数，就方便画图了。哪个直角三角形的斜边为√13且直角边是整数呢？
生：以2和3为直角边的直角三角形，斜边是√13 。
师：所以我们只需画出一个直角边分别是2和3的直角三角形，其斜边就是长为√13的线段，进而就能画出数轴上表示√13的点。请同学们拿出稿纸和作图工具尝试一下。
（老师在黑板上演示画图过程）
师：首先以原点O为线段端点，在数轴上截取OA = 3 。再以A点为垂足作直线l垂直于数轴，在直线l上截取AB = 2 。这样就画出了直角三角形的两条直角边，连接OB，则线段OB的长度就是√13 。以原点为圆心，以线段OB长为半径画弧，与数轴正半轴相交，交点所表示的位置即为表示√13的点。当然，先在数轴上画出边长为2的直角边，再画出边长为3的直角边也可以。同学们，如果要做 -√13所对应的点，应该怎么作图呢？
生：首先做出表示√13的线段长，因为负无理数在原点左侧，所以要以原点为圆心，以√13长为半径，在原点左侧画弧。