师：同学们，大家好。在勾股定理的第一节学习中，我们认识了赵爽弦图，通过对图形的切割拼接，巧妙运用面积关系，证明了勾股定理。勾股定理是平面几何中极为重要的定理，世界上各个文明古国对其发现和研究都有贡献，特别是定理的证明，据说有400余种方法。今天，我们来介绍4种证明勾股定理的图形，并进行演绎证明。
先看赵爽弦图，它是由四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间部分是小正方形。其实还可以这样拼，同样拼成一个大正方形，中间也是小正方形。为什么呢？设直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边为c。因为四个角∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°，且AB = BC = CD = AD = a + b 。根据正多边形定义，各个角相等、各条边相等的多边形为正多边形，所以可判断四边形ABCD为正方形，其面积表示为(a + b)2 。
再看四边形EFGH，因为△AHE ≌ △BEF，所以∠1 = ∠3，EH = EF。又因为∠2 + ∠3 = 90°，所以∠1 + ∠2 = 90°，进而得出∠4 = 90° 。同理，可证明四边形EFGH的其他三个角也都为90°，四条边都相等，所以四边形EFGH为正方形，它的面积为c2 。
那么小正方形EFGH和大正方形ABCD有什么数量关系呢？显然，小正方形的面积加上4个全等直角三角形的面积等于大正方形的面积，列出等式为c2 + 4×(1/2)ab = (a + b)2 ，计算化简得a2 + b2 = c2 。
在西方，最早发现并证明勾股定理的是公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯，他用演绎法证明了直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。在国外，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理。据说毕达哥拉斯去朋友家做客，朋友家地砖图案给了他启发，他把四个全等的直角三角形在同一个四边形内拼出了两种图案。老师拼给大家看。
由前面活动经验可知，四个全等直角三角形都拼在了一个正方形内，这个正方形的面积是多少呢？对，是(a + b)2 。正方形ABCD的面积还可以怎么表示呢？观察图形可发现，正方形ABCD可看成是由四个全等的直角三角形和两个大小不等的正方形组成，这两个正方形的面积分别为a2、b2 。所以正方形ABCD的面积还可表示成(1/2)ab×4 + a2 + b2 。正方形EFGH的面积还能怎样表示呢？没错，正方形EFGH可看成由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，正方形PMNQ的面积为c2 ，所以正方形EFGH的面积可表示为(1/2)ab×4 + c2 。因为两个大正方形面积相等，联立等式计算化简得a2 + b2 = c2 。
美国第20任总统加菲尔德用两个全等的直角三角形拼成了一个大四边形。同学们类比前面的探究过程回答问题：四边形ABCD是什么特殊图形？它的面积怎样表示？因为∠B = ∠C，所以四边形ABCD为直角梯形，其面积可表示为上底加下底的和乘以高除以2，即(1/2)(a + b)2 。四边形ABCD的面积还可以怎么表示呢？同学们发现四边形ABCD是由两个全等的直角三角形和△AED组成，根据前面经验，可判断△AED为等腰直角三角形，所以四边形ABCD的面积还可表示为两个直角三角形面积与等腰直角三角形AED面积的和，即2×(1/2)ab + (1/2)c2 ，列出等式计算化简得a2 + b2 = c2 。
老师提醒同学们，化简时先利用等式性质2两边同时乘以2，比先去括号化简更简便。同学们想一想，这3种证法有什么共同点？对，都是利用同一个图形的面积有不同表示方法，列出等式，证明出勾股定理。
最后介绍欧几里得在《几何原本》中的证法。如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = c，BC = a，AC = b 。以三角形三边分别向形外作正方形ABHF、BCMN、ADEC 。再过点C作CG⊥FH，垂足为G，交AB于点P，连接BD、FC、CD、FP 。在证明前，回顾上学期第11章学习三角形时的一个知识：若L1∥L2，那么△ABC和△ABD的面积有什么关系？
生：△ABC的面积等于△ABD的面积，理由是同底等高。
师：请同学们仔细看图，回答三个问题。一、△ADB和正方形ADEC面积有什么关系？
生：△ADB的面积等于正方形ADEC面积的一半，理由是同底等高。
师：二、△ACF与△APF的面积有什么关系？
生：△ACF的面积等于△APF的面积，等于长方形APGF面积的一半，理由还是同底等高。
师：三、△ADB与△ACF的面积有什么关系？
生：可以证明△ADB与△ACF全等，所以△ADB的面积等于△ACF的面积。
师：根据等量代换，我们可以得到△ADC面积等于△APF的面积，所以正方形ADEC面积等于矩形APGF的面积，即b2 = 矩形APGF的面积。同理，a2 = 矩形PBHG的面积。因为矩形APGF的面积加上矩形PBHG的面积等于正方形ABHF的面积，所以a2 + b2 = c2 。
同学们思考一下，在这个证明过程中用到了什么方法？
生：用到了等积变形。
师：学习了这么多好方法，来练一练。一、如图，将Rt△ABC绕其锐角顶点A旋转90度，得到Rt△AED，连接BE，延长DE、BC相交于点F ，则有∠BFE = 90°，且四边形ACFD是一个正方形。一、判断△ABE的形状，并证明。