师：同学们好，欢迎回到数学课堂。本节课课题是初中数学人教版八年级下册第20章数据的分析小结第二课时。这节课，老师将从三方面和大家交流：一是计算一组简单数据的方差；二是方差的统计意义；三是统计中用样本估计总体的基本思想。首先回顾数据处理的基本过程。在抽样调查统计活动中，一般要经历数据收集、整理、描述和分析。数据的分析能帮我们判断决策，采取适当策略行动。上节课复习了平均数、中位数和众数，除用这些统计量从数据集中趋势分析数据分布，还能从哪个方面分析呢？
生：可以从数据的波动程度来分析。
师：非常好，那一般用什么值刻画一组数据的波动程度呢？
生：除了极差，还可以用方差。
师：没错，虽然身处大数据时代，传统抽样调查仍很重要。利用大数据和云计算，能让抽样调查数据更丰富准确，支持时代发展。那抽样调查中样本的方差和总体有什么关系？
生：能用样本平均数估计总体平均数，同样能用样本方差估计总体方差。
师：对，用样本估计总体是统计的基本思想。回顾了方差地位作用后，来看方差怎样刻画数据波动程度。请看例一，这是两组同学身高数据。请计算极差和方差，判断哪组同学身高更整齐。解决这类实际问题要用到方差计算公式。对于一组数据$X_1$，$X_2$，$X_3$，… ，$X_N$，平均数为$\overline{X}$，方差$S^2 = \frac{1}{n}[(X_1 - \overline{X})^2 + (X_2 - \overline{X})^2 + (X_3 - \overline{X})^2 + \cdots + (X_N - \overline{X})^2 ]$。而且知道方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小。分别找到每组数据最大值和最小值就能算出极差。很巧，它们极差都是30。同学们，极差在这问题中分析数据哪方面特征？
生：极差能刻画一组数据的离散程度，反映数据分布范围和幅度。
师：如果两组数据极差相等，能说明两组同学身高一样整齐吗？
生：不能。
师：对，别着急，还是算一算方差。算方差前要先算平均数，知道为什么吗？为什么方差计算公式里有平均数？平均数不是刻画数据集中趋势的统计量吗？它对刻画数据离散程度的方差能起什么作用？
生：如果平均数代表一组数据中心值，方差就反映这组数据偏离中心值程度，即离中趋势，数据离散程度。所以方差计算公式要用每个数和平均数比较。
师：非常好。经过运算，两组数据平均数都是165，第一组方差是100，第二组方差约72.6。平均数相同情况下，第一组方差大于第二组方差，所以哪组数据波动程度小，身高更整齐？
生：第二组同学身高更整齐。
师：在描述两组数据的折线图中，蓝点表示第一组数据，红点表示第二组数据，较大点表示平均数。从统计图可直观感受每组数据离散程度，即每个数据与平均数偏离程度。很明显，第二组同学身高数据波动程度小。这两组数据极差相同但方差不同。极差反映数据波动总体范围和幅度，方差反映每个数据远离中心值趋势，刻画一组数据离中趋势波动程度。
看例2，数据来自体育老师测的两组同学跳远成绩。请计算平均数和方差，结合数据思考哪组同学平均成绩更能代表本组跳远水平。通过计算，两组数据平均数都是165。利用方差公式，第一组方差为100，第二组方差约524.3。从数据看，两组平均数相同，第一组方差明显小于第二组方差。注意，不是判断哪组成绩更整齐，而是判断哪组成绩平均数更能代表本组水平。反映一组数据中心值的平均数和中位数、众数一样，都可刻画数据集中趋势特征值。这两组数据中平均数165都能代表本组同学跳远一般水平吗？借助统计图描述两组数据，蓝点第一组，红点第二组，平均数和中位数点加大显示。发现虽两组平均数都是165，但第二组方差大，数据波动程度大，主要因平均数易受极端数据影响，比如这组数据里220。从统计图可直观看到，平均数165对第二组同学跳远一般水平代表性不足。对第二组数据，哪个量更适合代表本组同学跳远一般水平？
生：第二组数据中位数156更适合代表本组同学跳远一般水平。
师：所以第一组数据平均数165更能代表本组同学跳远一般水平。这种例子中，发现方差越小，平均成绩越能代表本组跳远水平；方差越大，用平均数刻画本组同学跳远一般水平代表性越差。也就是说，刻画一组数据集中趋势的统计量对本组数据代表性取决于数据离散程度，而方差就是对数据离散程度的描述。
看例3问题，求两组数据平均数和方差，判断哪组数据波动程度小。第一组数据1、2、3，第二组数据12、13、10。有同学说比较数据波动程度大小，比较方差就行，方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小，对吗？
生：不一定，要先算一算。
师：对，经过计算，平均数分别是2和20，方差分别是$\frac{2}{3}$和$\frac{200}{3}$。观察结果，方差值相差大，平均数也相差大。知道方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小，$\frac{2}{3}$远小于$\frac{200}{3}$，能得出第一组数据波动程度小的结论吗？观察两组数据折线图会惊奇发现，统计图纵轴刻度值不同，第一组纵轴刻度0、1、2、3、4，第二组纵轴刻度0、10、20、30、40，图形部分折线走向趋势一样。明明方差值差距大，为何从图形看两组数据波动程度大小一样？