师：同学们好，本节课我们学习初中数学人教版八年级下册第16章的阅读与思考。同学们，你们会求三角形的面积吗？提到求三角形的面积，你们会想到什么呢？
生：三角形的面积公式。
师：没错，如果我们知道一个三角形的一边以及这条边上对应的高，利用三角形面积公式(S = \frac{1}{2}ah)，就能求出这个三角形的面积。其实，早在我国古代数学专著《九章算术》中就提到过这个面积公式。但是在实际生活测量中，要测量出三角形的边长，尤其是这条边所对的高，并非易事。所以人们就思考，能不能有其他方法求三角形的面积呢？
我们知道，对于一个三角形，知道它的三条边，这个三角形就确定了。那能不能通过知道三角形的三条边，利用这三条边长来求出三角形的面积呢？中外数学家们都做了一些探索。
这位是古希腊的几何学家海伦，他在数学史上以解决几何测量闻名于世。他在《度量》这本书中，对一个公式予以了证明。他指出，只要知道三角形的三条边，就能求出三角形的面积。这个公式是这样的：如果一个三角形的三边用(a)、(b)、(c)表示，三角形周长的一半用字母(p)表示，那么这个三角形的面积(S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)})。只要知道三角形三边，代入这个公式就能求出面积，我们称这个公式为海伦公式。不过同学们要知道，这个公式虽然是海伦证明的，但其实是由阿基米德提出来的，只是我们习惯上依然把它称为海伦公式。
西方数学家对三角形面积提出了想法，那中国的数学家能不能解决这个问题呢？这位是我国南宋时期的数学家秦九韶，他在1247年所著的《数书九章》中，提出了“三斜求积术”，指出可以用三角形的三条边求出三角形的面积。
什么是“三斜求积术”呢？“三斜”指三角形的三条边，秦九韶把它们分别称为小斜、中斜和大斜，“术”指方法，所以“三斜求积术”就是利用三角形三条边求面积的方法。书中是这样描述的：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上。以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实。一为从隅，开平方得积。”这是古文，它是什么含义呢？
我们依次来看，“以小斜幂”，小斜用字母(a)表示，幂是乘方形式，所以“以小斜幂”指(a2)；“并大斜幂”，大斜用字母(b)表示，即加上(b2)；“减中斜幂”，中斜用字母(c)表示，就是减(c2)；“余半之”，指这个结果求一半；“自乘于上”，指这个结果求平方。
接下来，“以小斜幂乘大斜幂”，即(a2)乘以(b2)；“减上”，就是用(a2b2)减去刚才括号里的整体；“余四约之”，指得到的结果乘以(\frac{1}{4})；“为实，一为从隅，开平方得积”，所以面积就是这个整体开平方。这就是秦九韶给出的“三斜求积术”公式。
同学们，无论是西方的海伦，还是我国南宋的秦九韶，都用三角形三边长求出了三角形面积。这两个公式有联系吗？我们一起来探索。这是秦九韶给出的公式，观察会发现这个公式好像可以化简。这里的被开方数(\frac{1}{4})，可不可以移到中括号里面去呢？利用乘法分配律，可以把(\frac{1}{4})分别与中括号两项相乘。(\frac{1}{4})与(a2b2)相乘，可以写成((\frac{1}{2}ab)2)；(\frac{1}{4})移到后面小括号里，小括号外面是平方，所以(\frac{1}{4})移到小括号内要变成(\frac{1}{2})，分母(2)与原来小括号里的分母(2)相乘，就得到(\frac{(a2 + b2 - c2)2}{4})。
到这一步，同学们观察被开方数，有什么想法？这里可不可以看作一个整体的平方减另一个整体的平方？会想到什么公式？
生：平方差公式。
师：对，前一个整体相当于平方差公式中的(a)，后一个整体相当于平方差公式中的(b)，利用平方差公式展开，就得到这样一个式子。
接下来怎么做呢？每个括号里是不是可以通分合并？这里最简公分母是(4)，第一项(\frac{1}{2}ab)可以改写成(\frac{2ab}{4})，合并后得到这样一个式子。后面式子同理。同学们看这个公式，前面这个因式分子上有(2ab + a2 + b2 - c2)，前三项有什么感受？
生：是完全平方公式。
师：对，它可以改写成((a + b)2)。后面这个因式类比前面，也可以把三项括起来。但同学们，这个括号内是完全平方公式吗？
生：不是，完全平方公式(a2)、(b2)项前面应该是正号，这里是负号。
师：怎么办呢？我们可以将括号里提负号出去，改写成这样的形式。接下来到这步，同学们打算怎么做？
生：第一个因数分子可看成括号整体的平方减(c2)，这又是平方差公式，用平方差公式展开。
师：对，同样道理，后一个因式分子是(c2)减整体的平方，也利用平方差公式展开，得到这样的结果。到这里，同学们有什么感受？(\frac{a + b + c}{2})是什么？
生：是海伦公式里的(p)。
师：对，那我们想，这个公式好像与海伦公式越来越接近了，后面这个能不能用(p)的式子表示呢？(\frac{a + b - c}{2})，可不可以看作(\frac{a + b + c}{2} - c)，前者用(p)代替，所以它可以看作(p - c)。同样道理，第三个因式(\frac{c + a - b}{2})，可以看作(p - b)，最后一个可以看作(p - a)。
所以我们发现，把秦九韶公式化简后，最终可以转化成海伦公式。这两个公式实质上是同一个公式。正因为如此，人们也习惯于将海伦公式称作海伦 - 秦九韶公式。
今天通过学习，我们认识了海伦和秦九韶，知道他们给出的公式都能利用三角形三边求面积。接下来我们用这两个公式解决一些实际问题。
在三角形(ABC)中，(BC = 5)，(AC = 6)，(AB = 7)，求三角形(ABC)的面积。很简单，代入公式求解。先用海伦公式，海伦公式中(p)是周长的一半，我们先求(p)，再把公式写出来，然后把(a)、(b)、(c)以及(p)的值代入公式，通过计算就能求出答案。这是用海伦公式求三角形(ABC)的面积。接下来用秦九韶公式做。