师：同学们好，前一节我们学习了度量数据集中趋势的特征量平均数。这节课我们来学习另一个特征量——中位数。请同学们看活动。小李去某公司应聘，经理说公司员工收入很高，月平均工资有6000多元。小李觉得待遇不错，便答应第二天去上班。第二天上班时，他遇到几个职员。职员A说自己工资是3400元，在公司算中等收入。职员B说很多人的工资都是3000元左右。小李认为经理欺骗了他，就去找经理理论。经理给小李出示了一份员工工资表。下表是该公司员工月收入的资料，第一行表示月收入，第二行表示对应的人数。
请同学们思考并回答，经理说的月平均工资有6000多元，是否欺骗了小李？要回答这个问题，我们首先要计算所有人工资的平均数，也就是上一节课学习的加权平均数。请大家回忆公式并计算。这里的平均数等于每一个月收入数据乘以相应的人数，再把它们加到一起，然后总和除以人数之和。通过计算，我们得到平均工资为6276元，因此经理没有欺骗小李。
那么，如果用平均数6276反映公司全体员工月收入水平，你认为合适吗？为了使观察更直观，我们可以将上表中25位员工工资的数据由高到低依次排序，构成这样的条形图。平均水平6276，高于5500，低于1万，在图中的位置大概是这样的。通过条形图我们发现，超过平均数的人只有3位，也就是说平均数远远超过绝大多数人的实际月工资，绝大多数人被平均了。在计算这个平均数时，将高出一般人很多的工资，特别是45000、18000放在一群低工资中参与运算，导致平均工资较高。显然，用平均数来表示普通员工收入水平不合适。
该公司员工的中等收入水平大概是多少？你是怎么确定的？我们再次观察，总共25个数据，排序后第13个数据，也就是正中间的数恰好是3400。高于3400的有12位，低于3400的有12位，所以我们可以用中间位置的这个数3400来表示中等收入水平。而这个中间位置的数3400，我们把它叫做中位数。那平均数和中位数谁能更合理地反映该公司绝大部分员工的月工资水平？通过刚才的分析，显然中位数更合理。
同学们，在这个问题中，中位数3400的含义是什么？中位数3400说明这个公司约有一半员工收入高于3400元，约有一半员工收入低于3400元。刚才的问题中，该公司员工每月平均工资6000多元，从数字上说没有欺骗谁，但变相地欺骗了人，其原因是将高出一般人很多的工资放在一群低工资中参与运算，使整个平均工资提高了。像这样，如果一组数据中有极端数据，中位数比平均数更能合理地反映该组数据的整体水平。通过刚才的学习，我们可以给中位数下一个定义：将一组数据按照从小到大或者从大到小的顺序排列。
如果数据的个数是奇数个，那我们把中间位置的数称为中位数；如果数据的个数是偶数个，那我们把中间两个数的平均数称为这组数据的中位数。通过定义，我们知道中位数也是用来描述数据的集中趋势的量。中位数是一个位置代表值，如果已知一组数据的中位数，那么可以知道小于等于或大于等于这个中位数的数各占一半。那你会求一组数据的中位数吗？下面我们一起来试一试。
练习一，求下列各组数据的中位数。按照定义，我们求中位数应先排序，再看看是奇数个还是偶数个数，最后求出中位数，下面我们逐一来解决。我们对第一组数据进行排序，第一组数据有5个数，我们从小到大排序后，处在中间位置的是第三个数，因此中位数是3。第二组数据有7个数，我们给它进行排序，发现处在正中间位置的是第四个数，因此中位数是4。第三组数据有4个数，是偶数个，我们排序后，处于中间位置的是第2和第3两个数。那么按照定义，我们就把第二个数与第三个数的平均数作为中位数，所以中位数是5。
我们再来看第四组数，第四组数据是6个数，偶数个数，排序后发现处于中间位置的是第3和第4两个数。按照定义，我们就把第三个数和第四个数的平均数算出来作为中位数，所以中位数是7.5。结合这四个问题，请同学们思考，中位数是否一定是数据中的数？显然不一定，比如刚才最后一个问题中的中位数7.5，它就不是这组数据中的数。第二个问题，一组数据的中位数有几个？通过这4个问题，我们发现一组数据的中位数是唯一的，因此只有一个。如何求一组数据的中位数呢？按照刚才的经验，我们可以先进行排序，然后找出中间位置。在找中间位置的时候，要注意，如果数据的个数是奇数个，那就是正中间位置的那个数；如果数据的个数是偶数个时，那我们取中间两个数的平均数。第三步就是求，所以我们可以简称为一排二找三求。那中间位置是如何确定的呢？当n为奇数时，中间位置是第$\frac{n + 1}{2}$个数；当n为偶数时，中间位置是第$\frac{n}{2}$和第$\frac{n}{2} + 1$个数。通过刚才的学习，我们发现一组数据的中位数不一定出现在这组数据中。一组数据的中位数是唯一的，中位数是一个位置的代表值，它仅与数据的排列位置有关。当一组数据的个别数据相差较大时，可用中位数来描述这组数据的集中趋势。由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下的数据个数相等。当n为奇数时，中位数是排序后的第$\frac{n + 1}{2}$个数；当n为偶数时，中位数是排序后的第$\frac{n}{2}$与第$\frac{n}{2} + 1$个数的平均数。我们刚才学会了求一组数据的中位数，下面我们来看看中位数的实际应用吧。
在一次男子马拉松比赛中，抽得12名选手的成绩如下。一、这12名选手成绩的中位数是多少？二、一名选手的成绩为142分，他的成绩如何？按照求中位数的步骤，我们先将12个样本数据按序排列如下。然后找到中间位置的数，也就是第六个数146和第七个数148，因此这组数据的中位数是146与148的和除以2，结果等于147，所以样本数据的中位数是147。
根据一中得到的样本数据的结论，我们可以估计，在这次马拉松比赛中，大约有一半选手的成绩快于147分钟，约有一半选手的成绩慢于147分钟。而这名选手的成绩是142分钟，低于中位数147分钟。因此可以推测他的成绩比一般选手的成绩好。第三个问题，根据例4中的样本数据，你还有其他方法评价问题2中这名选手在这次比赛中的表现吗？描述样本数据集中趋势的方法，除了今天学习的中位数以外，我们还学习了平均数。所以我们还可以用平均数来评价选手的表现。请同学们算一算样本数据的平均数。
通过计算我们得到样本数据的平均数等于150分钟，而这位选手的成绩是142分钟，所以推测他的成绩比平均成绩好。结合刚才的实际问题，请同学们想一想平均数中位数有何优缺点？计算平均数时，所有的数据都可以参与运算，它能充分利用数据中所提供的所有信息，应用最为广泛，但容易受极端值的影响。中位数的优点是计算简单，只与其在数据中的位置有关，但不能充分利用所有的数据信息，因此各有优缺点，我们应根据具体情况来选择使用。下面我们来看一组练习。