师：各位同学大家好，欢迎来到数学课堂。今天我们学习的课题是第20章第一节平均数的第二课时——用样本平均数估计总体平均数。
首先来看问题一：抽查某品牌袋装方便面的质量，分别为98、99、100、98、99、100、98、99、100、98（单位：克）。你能用一种简便的方法求出这10袋方便面的平均质量吗？试列出你的算式。
根据算术平均数求法，方便面的平均质量等于10袋方便面总质量除以总袋数。我们把10袋方便面的质量加在一起，除以10，就可以算出每袋的平均质量。
观察以上10个数据，我们发现98克有4袋，99克有3袋，100克有3袋。因此总质量可以表示为98×4 + 99×3 + 100×3。这10袋方便面的平均质量$\overline{x}$等于总质量除以10，即：
[
\begin{align*}
\overline{x}&=(98×4 + 99×3 + 100×3)÷10\
&=(392 + 297 + 300)÷10\
&=989÷10\
&=98.9（克）
\end{align*}
]
所以这10袋方便面的平均质量为98.9克。
那请同学们思考一下，能把这种求有重复出现的数据的平均数的方法推广到一般吗？这种求平均数的方法与上一节课中的加权平均数求法有什么相同之处？
我们来尝试推广一下：在求n个数的算术平均数时，如果$X_1$出现$F_1$次，$X_2$出现$F_2$次，……，$X_k$出现$F_k$次（这里$F_1 + F_2 + …… + F_k = n$），那么这n个数的平均数可以用下列公式进行计算：
$\overline{X} = \frac{X_1×F_1 + X_2×F_2 + …… + X_k×F_k}{n}$
它也叫做$X_1$、$X_2$、……、$X_k$这k个数的加权平均数。其中$F_1$，$F_2$，……，$F_k$分别叫做$X_1$，$X_2$，……，$X_k$的权。
我们来看问题二：为了了解5路公共汽车的运营情况，公交部门统计了某天5路公共汽车每个运行班次的载客量，得到下表。这天5路公共汽车平均每班的载客量是多少？（结果取整数）
我们发现表格中载客量的范围分别是：$x$大于等于1且小于21，有3班；$x$大于等于21且小于41，有5班；$x$大于等于41且小于61，有20班；$x$大于等于61且小于81，有22班；$x$大于等于81且小于101，有18班；$x$大于等于101且小于121，有15班。
载客量是6个数据组，而不是具体数字，各组实际数据应该选谁呢？这种情况下，我们就用每组的组中值来表示该组的数据。一个小组的组中值是指这个小组两个端点数的平均数。所以第一组的组中值等于$(1 + 21)÷2 = 11$。依次求得下面各组的组中值分别为31、51、71、91、111。
该如何求平均每班车的载客量呢？频数分布表求加权平均数时，统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据，把各组的频数看作相应组中值的权，代入加权平均数公式可求得这天5路公共汽车平均载客量$\overline{x}$：
[
\begin{align*}
\overline{x}&=(11×3 + 31×5 + 51×20 + 71×22 + 91×18 + 111×15)÷(3 + 5 + 20 + 22 + 18 + 15)\
&=(33 + 155 + 1020 + 1562 + 1638 + 1665)÷83\
&=6073÷83\
&\approx73（人）
\end{align*}
]
这天5路公共汽车平均每班的载客量是73人。
这里请同学们注意，利用组中值求出的加权平均数是一个近似的估计值，这也体现了统计学的思想。
我们来归纳一下频数分布图中加权平均数的求法：
第一步，确定不同数据组中的数据，即组中值。
第二步，确定权，这里的权是频数。
我们来介绍一下如何用计算器求加权平均数：使用计算器的统计功能可以求平均数。具体步骤如下：
一、按动有关按键，使计算器进入统计状态。
二、依次输入数据$X_1$，$X_2$，……，$X_k$以及它们的权$F_1$，$F_2$，……，$F_k$。
三、按动求平均数的功能键，例如$\overline{x}$键，计算器显示结果。
我们来看两道练习：
练习一：某班级为了了解同学年龄情况，做了一次年龄调查，结果如下：13岁8人，14岁16人，15岁24人，16岁2人。求这个班级学生的平均年龄（结果取整数）。
该如何求学生的平均年龄呢？由前面求平均数的经验可知，平均年龄等于全体学生年龄的总和除以学生人数。13的权为8，14的权为16，15的权为24，16的权为2。代入加权平均数公式可求得这个班级学生的平均年龄$\overline{x}$：
[
\begin{align*}
\overline{x}&=(13×8 + 14×16 + 15×24 + 16×2)÷(8 + 16 + 24 + 2)\
&=(104 + 224 + 360 + 32)÷50\
&=720÷50\
&=14.4\
&\approx14（岁）
\end{align*}
]
所以他们的平均年龄约为14岁。
练习二：为了绿化环境，柳荫街引进一批法国梧桐，3年后，这些树干的周长情况如图所示。计算这批法国梧桐树树干的平均周长（结果取整数）。
刚才介绍了计算器的使用方法，可以使用计算器。从频数分布直方图可以得到如下表格：树干周长$x$大于等于40且小于50，有8棵；树干周长$x$大于等于50且小于60，有12棵；树干周长$x$大于等于60且小于70，有14棵；$x$大于等于70且小于80，有10棵；$x$大于等于80且小于90，有6棵。
依次可求出各组中值分别为45、55、65、75、85，它们对应的权分别是8、12、14、10、6。利用加权平均数公式可求得树干的平均周长$\overline{x}$：
[
\begin{align*}
\overline{x}&=(45×8 + 55×12 + 65×14 + 75×10 + 85×6)÷(8 + 12 + 14 + 10 + 6)\
&=(360 + 660 + 910 + 750 + 510)÷50\
&=3190÷50\
&=63.8\
&\approx64（厘米）
\end{align*}
]
所以这批法国梧桐树干的平均周长为64厘米。
下面请同学们思考，当所考察的对象很多或者对考察对象带有破坏性时，我们该如何求取平均数呢？同学们还记得初一学过的总体和样本吗？
在统计中，我们常常通过用样本估计总体的方法获得对总体的认识，因此我们可以用样本的平均数来估计总体的平均数。
来看问题三：某灯泡厂为测量一批灯泡的使用寿命，从中随机抽查了50只灯泡，它们的使用寿命如表所示。这批灯泡的平均使用寿命是多少？
分析一下，抽出的50只灯泡使用寿命组成一个样本，可以用样本的平均使用寿命来估计这批灯泡的平均使用寿命。如何求抽出的50只灯泡的平均使用寿命呢？请同学们思考一下。
抽出的50只灯泡平均使用寿命等于灯泡的总寿命除以灯泡总数50。首先通过计算可以得出各组的组中值分别为800、1200、1600、2000、2400，而各组对应的权分别是5、12、17、10、6。代入加权平均数计算公式，可得50只灯泡的平均使用寿命$\overline{x}$：
[
\begin{align*}
\overline{x}&=(800×5 + 1200×12 + 1600×17 + 2000×10 + 2400×6)÷50\
&=(4000 + 14400 + 27200 + 20000 + 14400)÷50\
&=80000÷50\
&=1600
\end{align*}
]
即样本的平均数是1600，因此可以估计这批灯泡的平均使用寿命大约是1600小时。
我们来看问题四：果园里有100棵梨树，丰收前，果农经常要估计梨的产量，你认为该怎样估计呢？
我们要估计梨的总产量，就要知道梨的个数及每个梨的质量。那该怎么办呢？我们不可能一个个地去数，所以可以用样本估计总体的方法。可以任选10棵树，清点每棵树上梨的个数，再估计每个梨的质量，用10棵树的产量估计梨的总产量。
果农从100棵梨树上任选出10棵，数出这10棵梨树上梨的个数，得到以下10个数据，你能估计出平均每棵树的梨的个数吗？利用平均数的计算方法，可以算出每棵树梨的个数$\overline{x} = 154$，所以平均每棵梨树上梨的个数为154个。
下面我们再来估计每个梨的平均质量，果农从这10棵梨树的每一棵树上分别随机摘4个梨，这些梨的质量分布如下表：梨的质量$x$大于等于0.2千克且小于0.3千克，有4个；$x$大于等于0.3千克且小于0.4千克，有12个；$x$大于等于0.4千克且小于0.5千克，有16个；$x$大于等于0.5千克且小于0.6千克，有8个。能估计出这批梨的平均质量吗？