师：同学们，大家好。在上一节课中，我们学习了正比例函数的概念，下面一起回忆一下，什么是正比例函数呢？一般地，形如(y = kx)（(k)是常数且(k \neq 0)）的函数叫做正比例函数，其中(k)叫做比例系数。带着这个定义，我们来看这样一组题目：在下列函数中，哪些是正比例函数，并指出正比例函数的比例系数。
第一题，(y = x)，是正比例函数，比例系数为(1)。
第二题，(y = 3x^{2})，不是正比例函数。
第三题，(y = \pi x)，是正比例函数，比例系数为(\pi)。
第四题，(y = 2x - 4)，不是正比例函数。
第五题，(y = \frac{-1}{x})，不是正比例函数。
第六题，(y = -2x)，是正比例函数，比例系数为(-2)。
在本章第一节，我们学习了如何用描点法画函数图像，下面一起回忆一下用描点法画函数图像的一般步骤。在用描点法画函数图像前，首先要确定自变量(x)的取值范围。确定取值范围后，第一步列表，给出一些自变量的值及其对应的函数值；第二步描点，在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；第三步连线，按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来。
既然学会了用描点法画函数图像，那我们试试看用描点法画出正比例函数(y = 2x)的图像。画之前，先确定自变量(x)的取值范围是全体实数。接下来列表，因为自变量(x)取值范围是全体实数，所以取值时要兼顾正数、(0)和负数。描点越多，图像越准确，老师列表时对自变量(x)取了(5)个值，当(x)分别取(-2)、(-1)、(0)、(1)、(2)时，对应的函数值分别为(-4)、(-2)、(0)、(2)、(4)。
大家看老师所列的表格中，自变量的取值一栏和其对应的函数值一栏都出现了省略号，这些省略号有什么意义呢？因为正比例函数(y = 2x)中自变量取值是全体实数，远不止表格中列举的这(5)个数，所以自变量一栏的省略号表示还有其他取值没列举出来，函数值一栏的省略号也是同样的意义。
列表完成后，接下来描点。以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点，根据表格，可以描出(( - 2, - 4))、(( - 1, - 2))、((0,0))、((1,2))、((2,4))这些点。第三步连线，将这些点连接起来，得到一条直线，它就是函数(y = 2x)的图像。最后在画出的图像旁边写上对应的函数解析式，这样就完成了正比例函数(y = 2x)的图像。
下面请同学们用刚才的方法，在同一坐标系中画出正比例函数(y = \frac{1}{3}x)的图像。老师也把(y = \frac{1}{3}x)的函数图像画好了，大家对照比较一下。
我们已经完成了两个正比例函数(y = 2x)和(y = \frac{1}{3}x)图像的画法，发现(y = 2x)和(y = \frac{1}{3}x)的比例系数(k)都大于(0)。老师想请同学们思考一个问题：对于一般的正比例函数(y = kx)，当(k > 0)时，它的图像形状是什么样的呢？
通过动手操作并观察，我们发现当(k > 0)时，正比例函数(y = kx)的图像是一条经过原点和第一、三象限的直线。
下面回到函数图像，老师展示了(3)个正比例函数的图像，它们对应的解析式分别为(y = 2x)、(y = x)和(y = \frac{1}{3}x)。请大家观察图像，继续思考：在(k > 0)的情况下，图像从左到右是上升还是下降呢？通过观察发现图像从左向右上升，这是图像自身的特征。那回到函数，当自变量的值增大时，对应的函数值是随着增大还是减小呢？
为了更直观地发现结论，老师用几何画板画了一个正比例函数的图像，并在图像上取一个点(P)。大家观察(P)点在图像上移动的过程中，函数值是如何随着对应自变量值的变化而变化的。注意观察当(P)点的横坐标逐渐增大时，它的纵坐标是如何变化的；当(P)点的横坐标逐渐减小时，(P)点对应的纵坐标又是如何变化的，能得出什么结论？
通过观察，我们发现随着(x)的增大，(y)也增大。
学习到这里，我们来做个小结。正比例函数(y = kx)，当(k > 0)时，函数的图像特征及其函数性质是怎样的呢？可以得到这样的结论：当(k > 0)时，正比例函数(y = kx)的图像是一条经过原点和第一、三象限的直线，从左向右上升，即随着(x)的增大，(y)也增大。
分析完(k > 0)时的情况，下面接着探究正比例函数(y = kx)中当(k < 0)时，图像特征及其函数性质。还用刚才的方法，用描点法画出正比例函数(y = - 1.5x)的图像。
画之前，先确定自变量(x)的取值范围是全体实数。接下来开始列表，和之前一样，老师对自变量(x)取了(5)个值，当自变量(x)分别取(-2)、(-1)、(0)、(1)、(2)时，对应的函数值分别是(3)、(1.5)、(0)、(-1.5)、(-3)。这里还是要提醒大家注意每一栏中的省略号。
列表完成后，接下来描点。新建一个平面直角坐标系，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点，在平面直角坐标系中，描出(( - 2,3))、(( - 1,1.5))、((0,0))、((1, - 1.5))、((2, - 3))这些点。第三步连线，将这些点连接起来，也得到一条直线，这就是正比例函数(y = - 1.5x)的图像。最后在画出的图像旁写上对应的函数解析式，这样就完成了正比例函数(y = - 1.5x)的图像。
接下来请大家在刚刚建立好的平面直角坐标系中，用描点法画出函数(y = - 4x)的图像。同学们，画出的函数(y = - 4x)的图像和老师展示的相同吗？
遵循前面的步骤，思考一下，当(k < 0)时，正比例函数(y = kx)它的图像特征和函数性质又是怎样的呢？
通过动手操作并观察，可以得出这样的结论：当(k < 0)时，正比例函数(y = kx)的图像是一条经过原点和第二、四象限的直线，从左向右下降，即随着(x)的增大，(y)反而减小。
同学们，学习到这里，我们已经将正比例函数(y = kx)的图像特征及函数性质，按照(k > 0)和(k < 0)两种情况都探究完了。下面请大家思考并总结：正比例函数(y = kx)（(k)为常数且(k \neq 0)）的函数图像特征及性质分别是什么？
通过探究可以得到：正比例函数(y = kx)（(k \neq 0)）的图像是一条经过原点的直线，我们也称为直线(y = kx)。当(k > 0)时，直线经过第一、三象限，从左向右上升，(y)随(x)的增大而增大；当(k < 0)时，直线经过第二、四象限，从左向右下降，(y)随(x)的增大而减小。
同学们，现在我们知道正比例函数的图像是一条经过坐标原点的直线。以前学过两点确定一条直线，结合这个基本事实，能不能得到画正比例函数图像的简便方法呢？
所有的正比例函数图像都经过一个定点，即坐标原点，那我们只需要除坐标原点外，再确定函数图像上一个点的坐标即可。我们发现当(x = 1)时，对应的函数值(y = k)，所以经过原点((0,0))和点((1,k))的直线就是函数(y = kx)的图像。当然，在实际操作中，不一定非要选择((1,k))这个点，也可以根据实际情况选择其他在函数图像上且容易找到的点。
学完了正比例函数的图像特征和函数性质，下面做几道练习。
练习一：用你认为最简单的方法画出下列函数的图像。
第一题，(y = \frac{3}{2}x)。在刚刚的学习中，知道只需要确定函数图像上两个点的坐标，就可以画出这个函数的图像。老师取的是((0,0))点和((2,3))点，这两个点都在函数图像上，经过这两点的直线就是函数(y = \frac{3}{2}x)的图像。
第二题，(y = - 3x)，老师取了((0,0))点和((1, - 3))点来完成这个函数图像。请大家对照老师画的图像，看看自己画得是否正确。再次提醒同学们，画平面直角坐标系时，一定别忘了标出横轴和纵轴的箭头及对应的字母；完成函数图像后，一定别忘了在函数图像旁写上对应的函数解析式。
练习二：在平面直角坐标系中，正比例函数(y = kx)（(k < 0)）的图像大致位置只可能是？
根据正比例函数的图像特征及函数性质，当(k < 0)时，经过原点的直线也经过第二、四象限，并且从左向右下降，所以本题答案是(A)。
练习三：对于正比例函数(y = kx)，当(x)增大时，(y)随(x)的增大而增大，则(k)的取值范围是多少？
根据正比例函数的性质，只有当比例系数(k > 0)时，函数值(y)才会随着自变量(x)的增大而增大，所以(k)的取值范围是(k > 0)，答案是(C)。
学习到这，老师相信同学们对正比例函数的图像特征和函数性质都有了一定的认识。老师想把正比例函数的问题推到一个新高度，直线(y = kx)（(k)是常数且(k \neq 0)），它的倾斜程度与(k)有怎样的关系呢？
为了更直观地发现结论，老师借助几何画板。在画板上，老师改变(k)的值，请大家观察直线的倾斜程度与(k)的取值有怎样的关系。观察当老师改变(k)的取值时，正比例函数图像所对应的这条直线也发生了变化。
通过观察发现，当(k > 0)时，随着(k)的取值越来越大，图像越来越陡；随着(k)的取值越来越小，图像越来越平缓。下面看看(k < 0)时的情况，(k < 0)时，图像经过第二、四象限，随着(k)的取值越来越小，直线越来越陡。
通过刚才的演示，我们发现：当(k > 0)时，(k)越大，直线越陡；当(k < 0)时，(k)越小，直线越陡。于是最终可以总结出直线的倾斜程度由(|k|)决定，(|k|)越大，直线越陡。
带着这个结论来看这道练习，本题给出了(4)个正比例函数解析式及其图像，请根据题目条件判断比例系数的大小。
根据图像发现直线(y_1 = k_1x)和(y_2 = k_2x)经过第二、四象限，所以(k_1)和(k_2)都小于(0)。并且直线(y_1 = k_1x)比直线(y_2 = k_2x)要陡，根据刚刚发现的结论，(|k_1| > |k_2|)，而(k_1)、(k_2)都是负数，绝对值大的反而小，所以(k_1 < k_2)。
接着发现直线(y_3 = k_3x)和(y_4 = k_4x)经过第一、三象限，所以(k_3)、(k_4)都大于(0)。并且直线(y_4 = k_4x)比直线(y_3 = k_3x)要陡，所以(|k_4| > |k_3|)，而(k_3)、(k_4)都是正数，所以(k_3 < k_4)。
解决了前两问，第三问就很容易了，显然(k_4)最大，其次是(k_3)，然后是(k_2)，最小的是(k_1)。
同学们，下面对本节课的内容做个小结。在本节课中，我们通过描点法画出了正比例函数的图像，并通过观察函数的图像特征得到了函数的性质。
请同学们在课后复习用描点法画正比例函数的图像及性质，并思考两个问题：第一个问题，我们是怎样进行研究的？第二个问题，正比例函数研究过程中，你感受最深的是什么？这是今天的课后作业，请大家认真完成。同学们，再见。