师：同学们，大家好。欢迎走进今天的数学课堂。今天我们一起学习人教版八年级下册第19章第二节一次函数的第五课时。前面我们已经学习了正比例函数和一次函数的表达式，共同探究了它们的性质和图像。现在就其相关内容进行回顾。首先看活动一：请根据所给的文字语言建立准确的函数模型。
已知y与x成正比例，通过观察发现y与x满足正比例函数解析式，所以设y = kx，k≠0。
已知y + 1与x成正比例。通过观察发现y + 1与x满足正比例函数解析式，所以设y + 1 = Kx，k≠0，即y = Kx - 1，k≠0。
已知y是关于x的一次函数，显然y与x满足一次函数解析式，所以设y = kx + b，k≠0。
再来看活动二：请根据所给的函数图像建立准确的函数模型。
通过观察第一图，发现函数图像是一条经过原点的直线，y随着x的增大而增大，y与x满足正比例函数关系，所以设y = kx，k≠0。
通过观察第二图，发现函数图像是与两条坐标轴相交的一条直线，y随着x的增大而增大，y与x满足一次函数关系，所以设y = kx + b，k≠0。
通过观察第三图，将其两端分别延长，并与两条坐标轴相交，形成一条直线。函数图像是在这条直线上的一部分，并在自变量的取值范围内，y随着x的增大而增大，y与x满足一次函数关系，所以设y = kx + b，k≠0，且x≥2，小于等于5。
通过以上活动，我们发现要建立一个准确的函数模型，需要认清函数y与自变量x之间具有怎样的函数关系，或者函数图像具有怎样的变化趋势。那么这就涉及到贯穿本章的一个重要数学思想——数形结合思想。函数解析式是数，函数图像就是形。那么数与形是如何结合、互相转换的呢？通过这节课，我们一起来探究答案。同学们还记得上节课我们是怎么画出y = 2x - 1的图像的吗？选用了什么方法？请思考。
生：我们通过两点法进行列表，在平面直角坐标系上描点连线画出图像。
师：整个画图过程反映了从函数解析式到函数图像，即从数到形的转化。那么请思考，反过来已知一个一次函数的图像经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？接下来我们通过一个例子来说明。例一，已知一次函数的图像过点(3, 5)与(-4, -9)，求这个一次函数的解析式。请同学们思考。
通过审题发现，因为一次函数图像经过(3, 5)与(-4, -9)，所以点(3, 5)表示当x = 3时，y = 5；点(-4, -9)表示当x = -4时，y = -9。所以这两点坐标必定适合一次函数解析式y = kx + b，k≠0。再将两点坐标分别代入函数解析式，求出k、b的值即可。具体过程如下：
解：设这个一次函数的解析式为y = Kx + b，k≠0。
因为y = Kx + b的图像经过点(3, 5)与(-4, -9)，所以得到关于k、b的方程组：
[
\begin{cases}
3k + b = 5 \
-4k + b = -9
\end{cases}
]
解方程组得k = 2，b = -1。
所以这个一次函数的解析式为y = 2x - 1。
因此我们把求这个一次函数的解析式步骤概括成4个字，分别是“设、代、解、写”。具体来说，分别是：
设：设一次函数的一般形式y = kx + b，k≠0。
代：把图像上的点(x?, y?)、(x?, y?)分别带入y = kx + b中，得到关于待定系数k和b的二元一次方程组。
解：解二元一次方程组得k、b的值。
写：把k、b的值带入一次函数的解析式，写出该函数的解析式。
像这样，先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式。这个方法叫做待定系数法。同学们回到最初问题，通过学习一次函数，你知道数与形是如何结合相互转化的吗？请思考。
生：对于函数解析式y = Kx + b，要转换成一次函数图像直线l，中间需要一个很重要的桥梁，就是满足条件的两定点。从形的角度看，是平面直角坐标系上的点；从数的角度看，是刻画点的一组x、y的对应值。满足函数解析式的点，是在函数图像上的，借助这两点及其坐标就实现了数与形的转化。
师：如果已知函数解析式，我们选取两个定点，通过列表描点连线可以画出函数图像。如果已知函数图像，选取图像上的两个定点，通过待定系数法可以解出函数解析式。整个思路就是整个初中阶段研究函数的方法。通过函数解析式与函数图像的关系，实现了从数到形和从形到数的转化，这就是数形结合思想。接下来我们来探究如何在实际问题中确定一次函数的解析式及其图像。请看例二，黄金1号玉米种子的价格为每千克5元，如果一次购买2千克以上的种子，超过2千克部分的种子价格打八折。
一、填写下表，请同学们完成。
通过审题发现购买量为2千克是计算付款金额的一个关键点。当购买量不超过2千克时，按每千克5元计算，即当购买量等于0.5千克、1.5千克、2千克时，付款金额分别是2.5元、7.5元、10元。当购买量超过2千克时，超过部分按8折计算。比如当购买量等于2.5千克时，付款金额由两部分构成，其中2千克部分按每千克5元计算为10元，超出0.5千克按8折计算为0.5×4 = 2元，所以付款金额是12元。以此类推，当购买量等于3千克、3.5千克、4千克时，付款金额分别是14元、16元、18元。
通过观察表格呈现出的数据发现，以2千克这组对应数量关系为界限，当购买量变化规律相同时，表格两侧付款金额变化趋势是不相同的。