师：同学们好，今天我们一起来学习人教版八年级下册第19章第二节一次函数的第三课时。前面我们已经学习了正比例函数，谁能说说什么是正比例函数呢？
生：一般形如y = kx（k是常数，k ≠ 0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。
师：非常好。来看一个实际问题，某登山队大本营所在地的气温为5摄氏度，海拔每升高1千米，气温下降6摄氏度。登山队员由大本营向上登高x千米时，他们所在位置的气温是y摄氏度。试用函数解析式表示y与x的关系。在这个问题中，由大本营向上，当海拔升高1千米时，气温下降6摄氏度。当海拔升高2千米时，气温下降了多少？
生：气温下降了两个6摄氏度，即下降12摄氏度。
师：当海拔升高3千米时，气温下降了多少？
生：下降了3个6摄氏度，即下降18摄氏度。
师：当海拔升高x千米时，气温下降了多少呢？
生：气温下降了6x摄氏度。
师：所以当登山队员由大本营向上登高x千米时，气温下降了6x摄氏度，他们所在位置的气温y = 5 - 6x 。这个函数也可以写为y = - 6x + 5，y = - 6x + 5是我们学过的正比例函数吗？
生：y = - 6x + 5不是正比例函数，因为正比例函数y = kx（k ≠ 0）中没有常数项。
师：像形如y = - 6x + 5的函数就是今天这节课我们要学习的新内容——一次函数。我们已经学习了正比例函数，大家能总结一下正比例函数研究了哪些内容吗？
生：我们学习了正比例函数的定义、图像、性质和应用。
师：类比正比例函数的学习，对于一次函数，我们将研究哪些内容呢？
生：我们将学习一次函数的定义、图像、性质和应用。
师：非常好，今天这节课我们首先来学习一次函数的定义。同学们，还记得正比例函数的定义是如何形成的吗？
生：正比例函数的定义是由实际问题列出函数解析式，根据解析式的形式特征得出定义的。
师：类比正比例函数的学习过程，今天我们来学习一次函数的定义。请同学们思考下列问题中变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式。这些函数解析式有哪些共同特征？第一，有人发现在20摄氏度到25摄氏度时，蟋蟀每分鸣叫次数c与温度t有关，c的值约是t的7倍与35的差。请同学们思考本题中有哪些变量。
生：本题中有两个变量t和c，并且对于温度t每一个确定的值，鸣叫次数c都有唯一确定的值与其对应，所以c是t的函数，解析式可写为c = 7t - 35。因为温度要求在20摄氏度到25摄氏度之间，所以自变量t的取值范围是20 ≤ t ≤ 25。
师：来看第二题，一种计算成年人标准体重g的方法是以厘米为单位量出身高值h，再减常数105，所得差是g的值。这道题中有哪些变量呢？
生：第二题中有两个变量h和g，并且对于身高h每一个确定的值，体重g都有唯一确定的值与其对应，所以g是h的函数，解析式可写为g = h - 105 。
师：类似的，请同学们思考第三题。某城市的市内电话的月收费额y，包括月租费22元和拨打电话x分钟的计时费，按0.1元每分钟收取。本题中的变量是什么呢？
生：本题中x、y是变量，并且对于x每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，所以y是x的函数。由于收费y是月租费22元加上拨打电话x分钟的计时费0.1x元，所以y = 22 + 0.1x，也可以写为y = 0.1x + 22 。
师：来看第四题，把一个长10厘米，宽5厘米的长方形的长减少x厘米，宽不变，长方形的面积y随x的变化而变化。第四个问题中变量都有哪些呢？
生：有两个变量x和y，并且y是x的函数。长方形面积y是原长方形面积50平方厘米减去减少的面积5x平方厘米，所以y与x的关系式为y = 50 - 5x，也可以写为y = - 5x + 50 。由于面积y是非负的，所以自变量x的取值范围是0 ≤ x ≤ 10 。
师：同学们，都做对了吗？请同学们仔细观察上面问题中的函数解析式有哪些共同特征。
生：通过观察可以发现，正如y = - 6x + 5一样，这些函数都是自变量与一个常数的积，再加或减一个常数。由于减去一个数等于加上这个数的相反数，所以可以统一看成加上一个常数，即这些函数都是常数k与一个自变量的积，再加上常数b的形式，即y = kx + b 。
师：类比正比例函数定义，请尝试归纳一次函数的定义。
生：一般的，形如y = kx + b（k、b是常数，k ≠ 0）的函数叫做一次函数。
师：由一次函数的定义可知，上面四个解析式都是一次函数，那么你能找出这些解析式对应的k和b的值吗？
生：第一个解析式c = 7t - 35中，k = 7，b = - 35；第二个解析式中，自变量h前面的系数是1省略没写，故k = 1，b = - 105 。
师：请同学们找一找三、四两个式子中k和b的值。
生：第三个解析式y = 0.1x + 22中，k = 0.1，b = 22；第四个解析式中，k = - 5，b = 50 。
师：同学们都找对了吗？在一次函数的解析式中，自变量x的次数是1，k为常数，k ≠ 0。当b = 0时，y = kx + b即y = kx 。所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。由一次函数的定义，我们还可以知道，如果y是x的一次函数，则y与x的关系式形如y = kx + b（k ≠ 0）的形式。反之，如果一个函数形如y = kx + b（k ≠ 0），则y是x的一次函数。我们来看一开始的问题中，我们得到的函数解析式为y = - 6x + 5，请同学们思考第一问，当登山队员由大本营向上登高0.5千米时，他们所在位置的气温是多少？
生：第一种方法，由题意先计算出登山队员由大本营向上登高0.5千米时，气温下降了0.5×6 = 3摄氏度。那么此时他们所在位置的气温是5摄氏度减3摄氏度，等于2摄氏度。因为登山队员所在位置的气温y是他们由大本营向上登高x的函数，且y与x的关系式为y = - 6x + 5 。所以当登山队员向上登高0.5千米时，他们所在位置的气温是当x = 0.5时，函数y = - 6x + 5的值，即y = - 6×0.5 + 5 = 2摄氏度。
师：其实，当函数解析式确定以后，每给定一个变量的值，另一个变量的值也随之确定。同学们请看第二问，当登山队员所在位置的气温是 - 7摄氏度时，他们由大本营向上登高了多少千米？请同学们思考。