师：同学们，大家好！今天我们要学习初中数学人教版八年级下册第19章第一节函数的图像第一课时。上节课，我们学习了变量与函数，现在回顾一下，什么是函数呢？一般来说，在某个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x = a时，y = b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
通过上节课的学习，我们知道函数解析式是表示函数的常用方法。比如汽车以60千米每小时的速度匀速行驶，路程s与行驶时间t之间的函数关系就可以用解析式s = 60t表示。生活中还有一些函数问题，像心脏部位的生物电流随时间变化，某地当天气温随时间变化，这些函数关系很难用式子表示，但可以通过图直观反映，例如用心电图表示心脏部位生物电流随时间的变化，用气温变化图表示某地当天气温随时间的变化。
对于能够用式子表示的函数关系，如果也能用图表示，函数关系会更直观，函数随自变量的变化趋势也会一目了然。所以，图在研究函数过程中非常重要。本节课，我们就一起来学习函数的图像。首先，请同学们思考这个问题：正方形的面积s与边长x的函数解析式是什么？
生：由正方形面积公式可得s = x2。
师：非常好。那么自变量x的取值范围如何确定呢？
生：因为x表示正方形边长，所以x必须大于0。
师：没错。我们将通过在坐标系中画图的方法来表示s与x的关系。我们知道，图是由无数个点组成的，画图前要先确定点的位置，那是根据什么来确定点的位置呢？
生：根据点的坐标。
师：点的坐标又可以从哪里得到呢？
生：通过函数解析式取值得到。
师：对。首先我们可以对自变量x取一些值，计算出相应的函数值。这里我们列一个表格，老师对x分别取了0.5、1、1.5、2、2.5、3、3.5、4这样的值。这里同学们可能有疑问，x的取值范围是大于0，为什么这里x可以取0呢？请同学们思考一下，x有最大值和最小值吗？
生：x没有最大值，可以无穷大；也没有最小值，只能无限接近于0但不等于0 。
师：非常好。尽管x不能取0，但0这个值可以帮助我们准确地定位这个函数所对应的图形的位置。画出函数对应的图形后，再根据自变量取值范围对0这个值对应的点进行处理，所以我们先把0取进去。同学们能根据解析式算出相应的函数值吗？大家算一算。
（学生计算后）
师：同学们，你们都算对了吗？我们就得到了x与s的几组对应值。我们把x的值作为横坐标，相应的s的值作为纵坐标，那么这几组对应值就分别确定了几个坐标，分别是(0, 0)、(0.5, 0.25)、(1, 1)、(1.5, 2.25)、(2, 4)、(2.5, 6.25)、(3, 9)、(3.5, 12.25)、(4, 16) 。有了坐标，我们就可以在坐标系中确定点的位置。下面我们画出坐标系，因为我们把x的值作为横坐标，相应的s的值作为纵坐标，所以坐标系的横轴表示自变量x，纵轴表示函数s。我们一起把这些坐标对应的点描到坐标系中。第一个点横坐标是0，纵坐标是0；第二个横坐标是0.5，纵坐标是0.25；第三个点横坐标是1，纵坐标是1；第四个点横坐标是1.5，纵坐标是2.25；第五个点横坐标是2，纵坐标是4；第六个点横坐标是2.5，纵坐标是6.25；第七个点横坐标是3，纵坐标是9；第八个点横坐标是3.5，纵坐标是12.25；第九个点横坐标是4，纵坐标是16。
描好之后，老师有个问题想请同学们思考一下，出现的点除了这9个之外还有吗？如果有，你能再找出几个吗？
生：还有，因为x还可以继续取值，这样的点应该有无数个。
师：非常好。接着请同学们想象一下，如果我们把所有的点都描到这个坐标系中，所有的点会组成一个什么图形呢？
生：根据这9个点的位置，想象出所有点组成的图形是一条线。
师：实际上我们没办法将所有点都描到坐标系中，所以我们用一条平滑曲线将这9个点依次连接起来，用这条平滑曲线表示所有点组成的那条线。这里要特别注意，因为x没有最大值，所以曲线要超出(4, 16)这个点；x也没有最小值，只能无限接近于0但始终不等于0，所以(0, 0)这个点不在曲线上，也就是根据前面分析，x = 0不在这个函数自变量取值范围内。我们在选取x = 0来帮助准确定位图形位置后，要对这个点进行处理。有的同学说可以把这个点抠掉，说得很形象。在数学上我们用空心圆圈来表示。这样，我们就通过在坐标系中画图的方法表示了s与x的关系，我们把这条曲线称为函数s = x2（x > 0）的图像。下面请同学们回顾一下刚才的整个探究过程，你能归纳一下函数图像的概念吗？
生：一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的图像。
师：非常好。下面我们来看一组练习。点A(1.2, 1.44)在函数s = x2（x > 0）的图像上吗？同学们，你们能独立解决这个问题吗？试一试。
（学生解答后）
师：我们先来分析一下，由函数图像的概念可知，必须以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标的点才会在函数图像上。所以要判断点A是否在函数s = x2（x > 0）的图像上，我们只要看点A的横纵坐标是不是x与s的一对对应值，也就是当x = 1.2时，利用解析式算出相应的s的值，看它是否等于1.44 。s的值等于1.44，说明点A就在这个函数图像上，否则点A就不在这个函数的图像上。我们来看一下规范的解答过程，因为当x = 1.2时，s = 1.22 = 1.44，恰好等于A点的纵坐标，所以点A的横纵坐标是x与s的一对对应值，所以点A在函数s = x2（x > 0）的图像上。按照练习一的解答思路，我们来解决练习2，点B(5, 20)在函数s = x2（x > 0）的图像上吗？