师：同学们好，我们又见面了。到目前为止，我们学习了平行四边形、矩形、菱形和正方形。哪种图形的性质最多呢？毫无疑问是正方形。上节课我们讲到，正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形和菱形，所以它的性质最多。正方形四条边相等，四个角都是直角，对角线长度相等且互相垂直平分。它的对称轴比其他四边形都多，以后我们还会学到它是中心对称图形。这些特点使得正方形备受喜爱，应用广泛。
大家看，张老师家的地砖采用了黑白相间的正方形，不仅美观，施工也简单。老师家装潢结束后，剩下几块瓷砖。我将一块正方形瓷砖的顶点放在另一块的对角线交点上，已知正方形瓷砖边长均为 30 厘米。大家能求出两块瓷砖重叠部分的面积吗？同学们可以先自己画一画。
从图中我们发现，四边形 OMCN 是不规则四边形。求不规则图形的面积，我们一般用割补法。眼尖的同学发现，三角形 OMC 和三角形 OND 的大小和形状很相似。仔细观察、大胆猜想，这是处理几何问题的好方法。接下来我们尝试证明这两个三角形全等。因为这两块瓷砖都是正方形，所以对角线相等且互相垂直平分，那么 OC = OD。正方形的对角线和菱形的对角线一样，有平分一组对角的性质，所以∠OCM = ∠ODN = 45°。到目前为止，我们找到了一边一角两个条件，还差一个条件就能证明全等。接下来找什么呢？如果再找边，就必须是角的另一条边 CM 和 DN，但题目没告诉我们它们的大小关系，所以我们只能找角。
别忘了，正方形内角以及对角线夹角都是直角。根据同角的余角相等，我们能得到∠MOC = ∠NOD，从而利用边角边证明三角形 OMC 和三角形 OND 全等。于是，不规则四边形 OMCN 的面积就转化为等腰直角三角形 OCD 的面积。已知正方形边长为 30 厘米，利用勾股定理可求出 OC、OD 的长为 15√2 厘米。代入三角形面积计算公式，得到最终面积为 225 平方厘米。那如果我将正方形 OEFG 绕着点 O 旋转，两块瓷砖重叠部分的面积会变化吗？它与正方形面积又有什么关系呢？同学们再思考一会儿。
好，尽管张老师改变了正方形 OEFG 的位置，但三角形 OBM 和三角形 ONC 的全等关系始终没变，重叠部分面积仍然等于刚才等腰直角三角形的面积，还是 225 平方厘米。而一块正方形瓷砖面积等于 302 = 900 平方厘米，225 是 900 的 1/4。于是我们得到结论，无论正方形 OEFG 绕着点 O 如何旋转，重叠部分面积始终等于一个正方形面积的 1/4。同学们请看，当正方形 OEFG 旋转到这两个特殊位置时，结论是不是更容易看出来了呢？
张老师发现瓦匠师傅切割瓷砖的机器很有意思，于是拿来刚才的正方形瓷砖，沿着四边中点的连线切割下来一个小瓷砖 EFGH。请问这个四边形是什么形状呢？你能说说理由吗？
首先大胆猜想，四边形 EFGH 应该是正方形。因为 A、B、C、D 是正方形顶点，E、F、G、H 是四边中点，所以图中这 8 条线段都相等。再结合正方形每个内角都是 90°，依据边角边就能证明被切掉的四个等腰直角三角形全等，那么它们的对应边 EF、FG、GH、HE 都相等。四边相等的四边形是菱形，还差一步就能得到正方形。
再来找找看，还有哪些条件没用？图中还有很多角没利用。根据等腰直角三角形每个底角都是 45°，于是∠1 = ∠2 = 45°，那么∠EHG 就是直角。根据上节课学习的正方形判定方法，有一个角是直角的菱形是正方形，本题得证。当然，同学们也可以先证明它是矩形，再结合邻边相等，也能得到答案。
张老师将裁下来的小正方形瓷砖和大正方形瓷砖叠放，使大正方形顶点位于小正方形一边的中点上。当大正方形一条边经过小正方形顶点 A 时，另一条边与小正方形的外角平分线交于点 F。经过测量，我发现 AE = EF。你能帮老师证明这个结论吗？请同学们试试看。我猜有同学看到直线 BC 上有两个直角，就想到过点 F 向直线 BC 做垂线，构建一线三等角模型。那我们看看能否证明这两个直角三角形全等。除了两个直角外，我们还有同角的余角相等，即∠BAE = ∠GEF，然后就缺少条件了。虽然这种构建方法在这道题里行不通，但这种敏锐的联想值得表扬。山穷水复疑无路，柳暗花明又一村。只要不放弃，方法总比困难多。既然 EF 向 AE 看齐构建全等三角形缺少条件，那反过来，AE 向 EF 看齐，能否构建全等三角形呢？我们再读题，看看有哪些关键信息没用。E 是中点，那不妨再取一个中点试试看，取 AB 的中点 G，连接 EG。因为 EG 是正方形两边中点连线，所以 AG = EC。又因为三角形 BGE 是等腰直角三角形，所以底角∠BGE = 45°，那么它的邻补角∠AGE = 135°。
题目说 CF 是正方形外角平分线，所以∠ECF = 90° + 45° = 135°。最后再补上前面找到的同角的余角相等这个条件，正好组成边角边判定方法。于是这两个三角形全等，对应边 AE = EF，本题得证。同学们请看，这是完整的证明过程。
那如果点 E 不是 BC 的中点，刚才的结论还成立吗？请同学们再试试看。老师相信善于联想的同学一定想到了破解方法。类比刚才的问题，我们还是在 AB 上取点 G，但这次不是中点，而是令 BG = BE。这样一来，相等的边有了，135 度的角也有了，剩下的过程就交给大家了。张老师又突发奇想，将大正方形沿着对角线裁开，拿来半块，把它的锐角顶点与小正方形瓷砖的顶点 A 重合，另外两条边与小正方形两边相交于 M、N 两点。请同学们猜想并证明 BM、MN、ND 之间的数量关系。猜想有时候靠想象力，有时候靠眼力，有时候靠一把直尺。同学们，手边的直尺、圆规、量角器都是好用的工具，要善加利用。赶紧拿起直尺，在屏幕上量一量，看看 BM、MN、ND 之间到底有怎样的数量关系。