师：同学们，大家好。上节课我们学习了二次根式的乘法，二次根式的乘法则是：$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$，这里要求$a \geq 0$，$b \geq 0$。这里的$a$、$b$可以是数或式子，但必须满足非负性。在运算时，我们一般先观察$\sqrt{a}$、$\sqrt{b}$能不能化简，如果能化简，一般先化简后相乘，最后一定要记得化简结果。
在七年级上学期，我们学习了有理数的除法；八年级上学期，我们学了分式的除法。在进行除法运算时一些需要注意的细节，相信同学们都非常熟悉，这些知识和学习方法为我们本节课的学习打下基础。
下面我们学习新课内容。首先，请同学们计算下列各式，观察计算结果，看看能发现什么规律。
第一题，$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$；第二个，$\sqrt{\frac{4}{9}}$，因为$\frac{4}{9}$是$(\frac{2}{3})^2$，化简结果等于$\frac{2}{3}$。$\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}$，$\sqrt{\frac{16}{25}}$是$(\frac{4}{5})^2$，化简结果等于$\frac{4}{5}$。$\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{49}} = \frac{6}{7}$，$\sqrt{\frac{36}{49}} = \frac{6}{7}$。
请问，你们有什么发现吗？我们发现在这三组题中，左边的三个式子是分数形式，且分子和分母分别是一个二次根式，表示两个二次根式的除法运算，即形如$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$的形式。而后面的三个式子是一个二次根式，这个二次根式的被开方数是分数形式，分子分母就是前面式子分子分母的被开方数，即形如$\sqrt{\frac{a}{b}}$的形式。又通过计算结果发现，$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$。
通过上节课的学习，同学们马上应该想到，这里的$a$和$b$有什么条件？$a$和$b$能取任意实数吗？我们来看一个例子，请问$\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{-9}} = \sqrt{\frac{-4}{-9}}$吗？对了，因为这两个被开方数是负数，不符合二次根式的定义，所以这个等式不成立。又因为这是一个分数形式，所以分母不能为$0$，因此要求$a \geq 0$，$b > 0$，这就是二次根式的除法则。
下面我们来看一个例题，看看同学们对这个法则的理解。请看第一题，$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{3}}$，它表示$\sqrt{24}$除以$\sqrt{3}$。通过刚才认识的除法法则，即根号不变，被开方数相除，因此它等于$\sqrt{\frac{24}{3}}$，计算出等于$\sqrt{8}$。那么到这结束了吗？对了，通过上节课的学习，我们发现$8$可以分解成$4×2$，而$4$是一个完全平方数，因此它还可以进一步开方，最终化简结果是$2\sqrt{2}$。
我们再来看第2题，$\sqrt{\frac{3}{2}} \div \sqrt{\frac{1}{18}}$。同样，我们利用二次根式除法则进行计算，等于$\sqrt{\frac{3}{2} \div \frac{1}{18}}$。因为不能整除，所以我们可以将除法转化成乘法，等于$\sqrt{\frac{3}{2}×18}$，等于$\sqrt{3×9}$，而$9$又是一个完全平方数，因此它最终的化简结果是$3\sqrt{3}$。
接下来我们再看第3小题。第3题是$\frac{2\sqrt{x^2y}}{3\sqrt{xy}}$，它表示$2\sqrt{x^2y}$除以$3\sqrt{xy}$。这是一个带有系数的二次根式的除法，这种题型应该怎么完成呢？我们分别将系数和二次根式相除作为商的一个因式，所以本题就等于$\frac{2}{3}\sqrt{\frac{x^2y}{xy}}$，最后化简结果等于$\frac{2}{3}\sqrt{x}$。
在二次根式乘法法则学习过程中，我们发现将乘法法则等号两边对调也是成立的，这就是积的算术平方根的性质，利用这个性质我们可以对二次根式进行化简。同样的，在本节课刚开始的探究活动中，我们发现将二次根式除法法则等号两边对调也是成立的，这就是商的算术平方根的性质，即$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$，当然它也必须满足$a \geq 0$，$b > 0$。利用这个商的算术平方根的性质，我们也可以对二次根式进行化简。
下面我们来看例2，这是一个化简题。请看第一小题，$\sqrt{\frac{3}{100}}$。首先我们要理解为什么要化简这个题目，因为根号下是不能含分母的，这是二次根式运算结果要求的条件，所以下面我们要对这个二次根式进行化简。首先我们可以利用商的算术平方根的性质将它转化成$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{100}}$，$\sqrt{100}$恰好是$\sqrt{10^2}$，因此最终化简结果等于$\frac{\sqrt{3}}{10}$。
我们再来看看第二题，$\sqrt{\frac{75}{27}}$。同样这个被开方数含有分母，所以我们也要对这个二次根式进行化简。首先，$75$和$27$，我们可以将它先分解，$27$分解成$3^2×3$，$75$可分解成$5^2×3$。此时我们可以将分子分母的$3$约分，再利用商的算术平方根的性质将它转化成$\sqrt{\frac{5^2}{3^2}}$，最终化简的结果等于$\frac{5}{3}$。本题我们试试用另一种方法来完成。我们可以首先将$\sqrt{\frac{75}{27}}$，利用商的算术平方根的性质将它转化成$\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{27}}$，再将$\sqrt{75}$和$\sqrt{27}$分别化简，$\sqrt{75}$为$5\sqrt{3}$，$\sqrt{27}$为$3\sqrt{3}$。这时我们只要将分子分母的$\sqrt{3}$约分，得到化简结果仍然是$\frac{5}{3}$。
下面我们再来看例3计算。请看第一小题，$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$，它表示$\sqrt{3}$除以$\sqrt{5}$。所以我们首先想到的是利用除法则，$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3}{5}}$。到了这一步，同学们还记得刚才咱们的化简题吗？对了，根号下不能含有分母，所以我们还要对其进行下一步的化简。我们可以在$\frac{3}{5}$的分子分母上同时乘$5$，这就运用了分数的基本性质，则等于$\sqrt{\frac{15}{5^2}}$。接着我们再利用商的算术平方根性质将其转化成$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{5^2}}$，而$\sqrt{5^2}$就是$5$，最终化简结果就是$\frac{\sqrt{15}}{5}$。在本题中，我们首先运用了除法则，然后又将其转化成商的算术平方根的性质，最终求出答案。
在本题，我们还能用第二种方法完成$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$。首先这个分母中含有根号是我们在二次根式结果中不允许的，所以我们只要将这个根号去掉，这题就可以完成它的解答过程。因此我们可以在这个分数的分子分母中同时乘以分母的二次根式，即$\frac{\sqrt{3}×\sqrt{5}}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$。同学们发现了吗？这个时候我们的分母就可以转化成$\sqrt{5^2}$，接着我们就可以用二次根式的性质将其最终化简，结果也是$\frac{\sqrt{15}}{5}$。这种将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化。
我们再来看看第二小题，$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{27}}$，它表示$3\sqrt{2}$除以$\sqrt{27}$。那么这道题又该如何计算呢？观察$\sqrt{27}$，我们发现它可以化简成$3\sqrt{3}$，$3\sqrt{3}$和分子中的$3\sqrt{2}$可以同时将$3$约分，那么这个时候式子是不是变得更加简单了一点呢？我们可以用这个思路来试试看。
首先它等于$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3^2×3}}$，接着我们用积的算术平方根性质将它转化成$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3^2}×\sqrt{3}}$，这个时候的$3$和分子$3$就可以约分了，则它等于$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$。接着我们是不是可以用刚才第一小题中介绍的分母有理化的过程来完成本题？我们只要将分母中的$\sqrt{3}$去掉即可，还记得怎么去的吗？对了，我们在这个分数的分子和分母中再乘一个$\sqrt{3}$，此时分母就变成$\sqrt{3^2}$，自然转化成一个有理数，因此结果是$\frac{\sqrt{6}}{3}$。
我们再来看看第3小题，$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2a}}$。这题其实我们直接可以用分母有理化的方法。我们在这个分子和分母上分别乘$\sqrt{2a}$，则分母就可以变成$\sqrt{(2a)^2}$，直接去掉了根号，分子变成$\sqrt{16a}$，而$16$是一个完全平方数，还可以继续开方为$4\sqrt{a}$。因此它等于$\frac{4\sqrt{a}}{2a}$。