师：同学们，大家好。今天我们一起来探究沪科版第21章第六节综合与实践——获取最大利润。之前我们系统研究了二次函数，都学了哪些内容呢？
生：我们研究了它的定义，形如y = ax2 + bx + c（a、b、c是常数，a ≠ 0）的函数叫做二次函数。通过配方得到了顶点式y = a(x + $\frac{b}{2a}$)2 + $\frac{4ac - b2}{4a}$ ，还研究了它的图像与性质。它的图像是抛物线，我们从抛物线形状研究了开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性、最大值和最小值。
师：没错，接着我们还研究了二次函数的应用，探究了它与一元二次方程的关系，用它求一元二次方程的近似解，还利用它解决不等关系，用二次函数研究生活中的面积、拱桥、行程等问题，建立函数模型解决实际问题。其实日常生活中还有很多与数学知识有关的实际问题，比如商品买卖过程中，利润是商家关注的重点，如何获取最大利润，就是我们这节课要研究的主要问题。王明计划开一间奶茶店，每月需支付房租2000元，水电费200元。已知每生产一杯奶茶成本为3元。设本月生产t杯奶茶的总成本为c（单位：元），则c为多少呢？同学们可以先按下暂停键独立思考。
生：（思考后）
师：下面我们一起来分析。此题固定成本为2000 + 200 = 2200元，每生产一杯奶茶成本为3元，t杯奶茶成本就是3t元，所以总成本c = 3t + 2200。像这样的销售问题，要确定利润，还需知道销售单价和销售量。下面看这一题，当一个工厂决定是否生产某产品时，往往向市场分析专家咨询产品销路。一种产品的销售量通常与销售单价有关，单价上涨，销售量下降。假设某市场专家提供了下列数据，请看表格：销售单价x（单位：元），年销售量t（单位：件）。当单价为50元时，销售量t = 5000；单价是100元时，销售量是4000；单价是150元时，销售量是3000；单价是300元时，销售量是0。通过表格可以发现，这是一个变化过程，有两个变量，给定一个销售单价x的值，就唯一确定一个年销售量t的值。那么年销售量t与销售单价x之间存在什么函数关系呢？为更形象地判断，我们通过描点画出函数图像。首先，在平面直角坐标系中描出表格里各组数据对应的点，分别是(50, 5000)、(100, 4000)、(150, 3000)、(300, 0)。
生：（描点）
师：接着我们连线，大家请看，此时发现图像是一条直线，那说明这个函数是什么函数呢？
生：应该是一次函数。
师：对，那如何求这个函数表达式呢？
生：可以用待定系数法。
师：没错，我们任取两点，比如(50, 5000)、(300, 0) 。首先设t = kx + b（k ≠ 0），将(50, 5000)、(300, 0)代入函数表达式，得$\begin{cases}50k + b = 5000 \ 300k + b = 0\end{cases}$，通过加减消元法可求出k = -20，b = 6000，所以这个函数表达式为t = -20x + 6000。根据实际问题，这里x的取值范围是什么呢？
生：x大于0，小于300。
师：好，接下来看第三问，设生产t件该产品的成本为c = 50t + 1000 。问当销售单价x和年销售量t各为多少时，年利润p最大呢？同学们先按下暂停键独立思考。要求利润最大，首先要知道利润如何表示。
生：利润等于销售额减成本。
师：对，那这个问题中销售额怎么表示呢？
生：销售额是销售单价乘以销售量，即tx。
师：所以年利润p = tx - c 。这里的t和c可以换掉，p = (-20x + 6000)x - (50t + 1000) = -20x2 + 6000x - 50t - 1000 ，表达式中还有t 。要刻画销售利润和销售单价的函数关系，还得把t换掉，p = -20x2 + 6000x - 50(-20x + 6000) - 1000 ，接着去括号得p = -20x2 + 6000x + 1000x - 300000 - 1000 ，合并同类项得p = -20x2 + 7000x - 301000 。此时要确定函数最大值，我们可以对函数配方找顶点坐标，也可以直接用顶点坐标公式。因为 -20 ＜ 0 ，由公式可得，当x = -$\frac{b}{2a}$ ，即x = -$\frac{7000}{2×(-20)}$ = 175 。此时x = 175也在取值范围内，所以当x = 175时，利润p最大。那么此时t = -20x + 6000 = -20×175 + 6000 = 2500 。所以当销售单价定为175元，年销售量定为2500件时，年利润最大。现在回顾这个问题，要求利润最大值，我们要建立两个变量之间的函数模型，建立模型需要哪些步骤呢？
生：首先建立平面直角坐标系，列表描点画函数图像；然后根据函数图像确定函数表达式，比如图像是直线就是一次函数，是抛物线就是二次函数等；最后应用函数模型求最大值解决实际问题。还要注意自变量取值范围，判断顶点是否在实际问题取值范围内。
师：不过这道题表格里的数据是理论值，实际中因统计等情况会产生数据误差，有些数据只能近似取值。比如下面这个问题，设生产t件某商品的成本（单位：元）可近似表示为c = 5t + 200 。制造商为获最大利润进行市场调查，得到该产品销售单价x和年销售量t之间一组数据：销售单价x取10元时，年销售量t为90件；x取20元时，t为70件；x取30元时，t为50件；x取40元时，t为31件；x取50元时，t为9件。根据前面经验，这题首先要根据列表描点画函数图像确定函数类型。描点要描(10, 90)、(20, 70)、(30, 50)、(40, 31)、(50, 9) 。