师：今天我们来学习沪科版数学九年级上册第22章相似形小结与评价第二课时。首先，我们复习一下本节课的内容。
相似三角形的性质如下：
一、对应角相等，对应边成比例。
二、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于相似比。
三、面积比等于相似比的平方。
相似三角形的应用有：
一、测高，测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用在同一时刻物高与影长成比例的原理解决。
二、测距，测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解。
图形的位置变换：
一、如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比也称为位似比。
二、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比都等于位似比，对应线段平行或者在一条直线上，位似的性质应用能将一个图形放大或缩小。
平面直角坐标系中的位似：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点(O)为位似中心，相似比为(k)（(k\gt0)），原图像上点的坐标为((x,y))，那么同向位似图形对应点的坐标为((kx,ky))；当(k\lt0)时，变换得到的图形叫做反向位似图形。
接下来我们看例一，在(\triangle ABC)中，(DE\parallel BC)，(EF\parallel AB)。已知(\triangle ADE)和(\triangle EFC)的面积分别为(4)和(9)。求(\triangle ABC)的面积，请同学们思考一下。
生：因为(DE\parallel BC)，(EF\parallel AB)，所以(\triangle ADE\sim\triangle ABC)，(\angle AED = \angle C)，(\angle A = \angle CEF)，所以(\triangle ADE\sim\triangle EFC)。又因为(S_{\triangle ADE}:S_{\triangle EFC}=4:9)，所以(AE:EC = 2:3)，则(AE:AC = 2:5)。所以(S_{\triangle ADE}:S_{\triangle ABC}=4:25)。又因为(S_{\triangle ADE})的面积为(4)，所以(S_{\triangle ABC}=25)。
师：好，来看下一题。如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下(2.7)米宽的亮区。已知亮区一边到窗下角距离(CE)为(8.7)米，窗口高(AB)为(1.8)米。求窗口底边离地面的高度(BC)的值，请同学们思考一下。
生：太阳光可以看成平行的光线，所以(\triangle ACE\sim\triangle BCD)，得到(AC:BC = EC:DC)。又因为(AC = BC + 1.8)，(CE = 8.7)，(ED = 2.7)，可求得(DC = 6)。把以上数值代入比例式，得到((8.7 - 2.7):8.7 = BC:(BC + 1.8))，解得(BC = 4)。所以窗口底边离地面的高度(BC)的值为(4)米。
师：好，我们来看例3。如图，正方形(ABCD)，(E)是(CD)的中点，(CF = \frac{1}{4}BC)。求证(AE\perp EF)，请同学们思考一下。
生：因为四边形(ABCD)是正方形，所以(BC = CD = AD)，(\angle D = \angle C = 90^{\circ})。因为(E)是(DC)的中点，(CF = \frac{1}{4}BC)，所以(DE:AD = \frac{1}{2})，(CF:CE = \frac{1}{2})，所以(DE:AD = CF:CE)。两边对应成比例，且夹角相等，得到(\triangle ADE\sim\triangle ECF)，所以(\angle 1 = \angle 2)。又因为(\angle D = 90^{\circ})，所以(\angle 1 + \angle 3 = 90^{\circ})。等量代换可得(\angle 2 + \angle 3 = 90^{\circ})，那么(AE\perp EF)。
师：好，我们再来看例4。如图，(\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE})。
求证(\angle BAD = \angle CAE)，请同学们思考一下。
生：由条件可得，因为(\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{DE}=\frac{AC}{AE})，三边对应成比例，所以(\triangle ABC\sim\triangle ADE)，所以(\angle BAC = \angle DAE)。所以(\angle BAC - \angle DAC = \angle DAE - \angle DAC)，即(\angle BAD = \angle CAE)。
师：2. 若已知(AB = 6)，(BD = 3)，(AC = 4)，求(CE)的长，那如何去求呢？
生：由条件(\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE})，由1可知(\angle BAD = \angle CAE)，两边对应成比例，且夹角相等，可证出(\triangle ABD\sim\triangle ACE)，所以(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CE})。已知(AB = 6)，(BD = 3)，(AC = 4)，代入比例式求出(CE = \frac{BD×AC}{AB}=\frac{3}{6}×4 = 2)。
师：好，我们来看练习一。
如果两个相似三角形的相似比为(2:3)，那么对应高的比为多少？对应角平分线的比是多少？对应边上中线的比是多少？
生：对应高的比为(2:3)，对应角平分线的比是(2:3)，对应边上中线的比是(2:3)。
师：2. (\triangle ABC)与(\triangle A'B'C')的相似比为(3:4)。若(BC)边上的高(AD = 12)厘米，则(B'C')边上的高(A'D')等于多少？
生：因为(\triangle ABC)与(\triangle A'B'C')相似，所以对应高的比等于相似比，即(\frac{AD}{A'D'}=\frac{3}{4})。又因为(AD = 12)，所以很容易求出(A'D' = 16)厘米。
师：3. 在(\triangle ABC)和(\triangle DEF)中，若(AB = 2DE)，(AC = 2DF)，(\angle A = \angle D)，(AP)、(DQ)是中线，若(AP = 2)，则(DQ)的值为多少？
生：由条件可知，(AB = 2DE)，(AC = 2DF)，(\angle A = \angle D)，可以判定(\triangle ABC\sim\triangle DEF)。那么对应中线的比就等于相似比，因为(AB = 2DE)，所以相似比是(2:1)，所以(DQ = 1)。
师：4. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于多少？面积比等于多少？