师：同学们好，前面我们复习了二次函数与反比例函数的相关性质，今天继续复习如何利用这些性质解决实际情境中的问题。首先回顾一下，利用这些性质解决实际问题时，可能会遇到哪些情境类型。
第一种，明确给出两个量之间的函数关系式，由此解决实际问题。
第二种，情境中给出可抽象为抛物线或双曲线型的物体形状，通过建立坐标系，求出函数关系式，进而解决实际问题。
第三种，情境中既没有明确说明量与量之间具有何种关系，也没有直观图像来感受相关量的关系，需要分析整合各个量之间的数量关系，确定函数类型，求得函数解析式，再解决实际问题。
下面通过几道典型例题进行复习回顾。
例一：跳伞运动员在打开降落伞之前下落的路程(s)米与经过的时间(t)秒之间的关系为(s = at^{2})。给出了一个关于(s)和(t)的表格，呈现了((0,0))、((2,20))两组数据。
第一小问，根据表中数据写出(s)关于(t)的表达式。因为题目已给出明确的函数关系式，所以用待定系数法，将(t = 2)，(s = 20)代入即可求解。由数据可知，把(t = 2)，(s = 20)代入(s = at^{2})中，可得(a×2^{2} = 20)，解得(a = 5)，即(s)关于(t)的表达式为(s = 5t^{2})。
第二小题，完成上面自变量(t)与函数(s)的对应值表。根据表中数据，只要将(t = 1)、(t = 3)、(t = 4)分别代入(s = 5t^{2})中，即可求出(s)的值分别为(5)、(45)和(80)。
第三小问，画出(s)关于(t)的函数图像。实际问题中画函数图像，要注意自变量与因变量在情境中的实际意义以及自变量的取值范围。如图所示，横轴表示下落经过的时间，纵轴表示下落的路程，自变量的取值范围为(t≥0)。
第四小问，如果跳伞运动员从(4600)米的高空跳伞，为确保安全，必须在离地面(600)米之前打开降落伞。问，运动员在空中不打开降落伞的时间至多有几秒（精确到一秒）？从(4600)米高空跳伞，在(600)米之前打开降落伞，即运动员下落的路程(s)至多为(4000)米，已知因变量求自变量，代入函数解析式即可。
根据题意可知，自由下落的路程至多为(s = 4600 - 600 = 4000)米，代入可得(5t^{2} = 4000)。又因为(t > 0)，所以解得(t = 20\sqrt{2}≈28)秒。答：为确保安全，运动员在空中不打开降落伞的时间至多有(28)秒。
例二：如图，涵洞的横截面是抛物线，当水面宽为两米时，水面与涵洞顶点之间的距离为(3)米。
第一小问，请在图中建立适当的平面直角坐标系，并求出该抛物线的函数表达式。在建立平面直角坐标系时，尽量选择特殊点作为原点，以简化函数解析式。
解：如图，以函数顶点为坐标原点建立平面直角坐标系，可设函数解析式为(y = ax^{2})。由题意可知，抛物线必过点(A(-1,-3))，代入函数解析式得(-3 = a×(-1)^{2})，解得(a = -3)，所以抛物线的函数解析式为(y = -3x^{2})。
第二小题，当水面与涵洞顶点之间的距离为(1.5)米时，涵洞水面宽为多少米？若不能明确距离为(1.5)米对应函数解析式中的(x)还是(y)，可以通过图像帮助理解。由图可知，距离为(1.5)米应该对应的是水面与涵洞交点纵坐标的绝对值。要求水面宽，就可求出对应点的横坐标。
解：当水面与涵洞顶点之间的距离为(1.5)米时，纵坐标(y = -1.5)。此时有(-1.5 = -3x^{2})，解得(x = ±\frac{\sqrt{2}}{2})。因为(\frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2})米，所以此时涵洞水面宽为(\sqrt{2})米。
第三小题，当水面与涵洞顶点之间的距离为(1.5)米时，一艘宽为一米、高为(1.2)米的小船能否顺利通过？利用什么来衡量小船是否能通过？类比上一题的做法，先画一个图像帮助理解。此时只要判断顶点(D)与函数图像的位置，即当横坐标确定时，判断(D)的纵坐标与函数图像上对应点纵坐标之间的大小关系。
解：假设船从正中间行驶，船宽为(1)米时，点(D)横坐标为(x = 0.5)。求得函数上对应点的纵坐标为(y = -3×0.5^{2} = -0.75)，即函数上的对应点为((0.5, -0.75))。由图可知，船的顶点(D)坐标为((0.5, -0.3))，因为(-0.3 > -0.75)，所以此小船不能顺利通过。
例三：某农场拟建两间矩形奶牛饲养室，一面靠现有墙（墙长大于(50)米）。如图，已知计划中建筑材料可建围墙的总长为(50)米，修建饲养室时中间必须用一道墙隔开，墙的宽度忽略不计。两间饲养室合计长为(x)米，总占地面积为(y)平方米。
问题一，求出(y)关于(x)的函数表达式和自变量的取值范围。题目中没有给出明确的函数表达式，也没有给出图像，只能通过已知的数据（总长为(50)米）以及图形来得到(y)和(x)之间的函数关系。
解：由图可知，矩形饲养室的宽为(\frac{50 - x}{3})米，所以其占地面积(y = \frac{50 - x}{3}×x = -\frac{1}{3}x^{2} + \frac{50}{3}x)。因为矩形长宽都大于(0)，所以(\begin{cases}x > 0 \ \frac{50 - x}{3} > 0 \end{cases})，解得(0 < x < 50)。所以(y)关于(x)的函数表达式为(y = -\frac{1}{3}x^{2} + \frac{50}{3}x)，((0 < x < 50))。
问题二，画出函数图像。注意明确横坐标、纵坐标在具体问题中的实际意义以及自变量的取值范围。
解：如图所示，在(0)到(50)之间选取(10)、(40)以及顶点坐标，横轴表示总计长，纵轴表示占地面积。
问题三，若要使两间饲养室占地总面积达到(200)平方米，则各道墙的长度为多少？占地总面积有可能达到(210)平方米吗？占地总面积达到(200)平方米和(210)平方米，求的是各道墙的长度，所以还是已知因变量求自变量，代入函数解析式即可。
解：当(y = 200)时，(200 = -\frac{1}{3}x^{2} + \frac{50}{3}x)，解得(x_1 = 20)，(x_2 = 30)。当(x = 20)时，(\frac{50 - 20}{3} = 10)米；当(x = 30)时，(\frac{50 - 30}{3} = \frac{20}{3})米。所以使总面积达到(200)平方米，各道墙的长度可为(10)米和(20)米或(\frac{20}{3})米、(10)米和(30)米。
同理，将(y = 210)代入解析式，当(y = 210)时，(210 = -\frac{1}{3}x^{2} + \frac{50}{3}x)，即(x^{2} - 50x + 630 = 0)。因为(\Delta = (-50)^{2} - 4×630 = -20 < 0)，所以方程无实数根，占地面积不可能达到(210)平方米。不过第二小题因为画出了函数图像，并且标出了顶点坐标，所以也可以利用函数图像进行解答。
解：由问题二中图像可知，此函数图像在(x = 25)时取得最大值为(\frac{625}{3})，小于(210)，所以面积不可能为(210)平方米。
例四：某超市销售一种饮料，每瓶进价为(9)元。经市场调查表明，当售价在(10)元到(14)元之间（含(10)元、(14)元）浮动时，每瓶售价每增加(0.5)元，日均销售量减少(40)瓶。当售价为每瓶(12)元时，日均销售量为(400)瓶。设每瓶销售价格定为(x)元时，每日所获利润（每日利润 =（每瓶售价 - 每瓶进价）×销售量）为(y)元。
题目的信息量较大，我们逐条分析。进价为(9)元，已知售价为(x)元，可得每瓶利润为((x - 9))元。售价在(10)元到(14)元之间，提供了售价的取值范围。每瓶售价增加(0.5)元，销售量减少(40)瓶，即每增加(1)元，销售量减少(80)瓶。售价为(12)元时，销售量为(400)瓶。这段话实际上给出了售价与销售量之间的关系，我们可以通过这个条件用售价(x)表示销售量，从而求得(y)关于(x)之间的函数关系式。
第一小问，根据题意建立(y)与(x)之间的函数关系，并求出自变量的取值范围。通过表格，可以直观地看出销售量与售价之间的关系。当售价为(12)元时，销售量为(400)瓶；售价增加(1)元，销售量为(400 - 80)；售价增加(-1)元时，销售量为(400 - 80×(-1))；售价增加(-2)元时，销售量为(400 - 80×(-2))。所以当售价定为(x)元时，增加了((x - 12))元，销售量为(400 - 80×(x - 12))。
由题已知，每瓶利润为((x - 9))元，日均销售量为(400 - 80×(x - 12))，由此可求得(y)关于(x)的函数关系式。
解：由题意可知，每瓶售价每增加(1)元时，日均销售量减少(80)瓶，可得日均销售量为(400 - 80×(x - 12) = 1360 - 80x)。所以每日所获利润(y = (x - 9)×(1360 - 80x) = -80x^{2} + 2080x - 12240)，((10≤x≤14))。所以(y)与(x)之间的函数关系式为(y = -80x^{2} + 2080x - 12240)，((10≤x≤14))。
第二小问，画出函数图像，横轴表示售价，纵轴表示每日所获利润。选择两个端点和顶点坐标，画出函数图像。
第三小问，销售价格定为每瓶多少元时，每日所获利润最大，为多少？可以直接利用公式求出(y)取最大值时(x)的值，判断是否在(10)到(14)之间，再看(y)的最大值。
解：因为(-\frac{2080}{2×(-80)} = 13)，在(10≤x≤14)范围内，当(x = 13)时，(y = -80×13^{2} + 2080×13 - 12240 = 1280)元。答：售价定为每瓶(13)元时，每日所获利润最大为(1280)元。但是因为第二题已经画出了函数图像，并且标出了顶点坐标，所以也可以利用函数图像进行求解。由第二题中图像可知，此函数图像在(x = 13)时取得最大值为(1280)。所以售价定为每瓶(13)元时，每日所获利润最大，利润为(1280)元。
例五：蓄电池的电压为定值，使用此电池时，电流(I)（安）与电阻(R)（欧）之间的函数关系如下图所示。不论是从图像还是具体情境中的问题，都可以知道(I)与(R)之间应该成反比例函数。
第一小问，蓄电池的电压是多少？能写出这一函数的表达式吗？由分析可知。
解：由图像可设(I = \frac{k}{R})。由题意可知，蓄电池电压为(9×4 = 36)伏，所以函数表达式为(I = \frac{36}{R})，((R > 0))。
第二小问，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不超过(10)安，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？电流为(10)安对应是因变量，求可变电阻的阻值，也就是由因变量求自变量，所以代入解析式。
解：当(I = 10)安时，(10 = \frac{36}{R})，解得(R = 3.6)欧。由图像可知，当(I≤10)安时，(R≥3.6)欧。
答：当电流不得超过(10)安时，用电器的可变电阻应控制在大于或等于(3.6)欧的范围内。
回顾二次函数与反比例函数的实际应用，情境中一般给出两个变量之间的函数关系。有时这些函数关系是明确的，有时不明确。不明确的函数关系有时会以抛物线型或者双曲线型的图像呈现，有时隐含在问题的数量关系中。而问题的数量关系可能是图形的数量关系，也可能是情境中的数量关系。利用这两种数量关系，求得明确的函数关系式，再以此解决实际问题。解决实际问题时，其实就是明确题目中给出的量是自变量还是因变量，通过代入解析式或者借助图像求得另一个变量。好，今天的课就到这里，谢谢大家，再见。