师：同学们，大家好！非常高兴能和大家一起探究比例线段的第四课时，这是相似形第一节的最后一个课时。前面我们已经学习了比例线段的基本性质、合比性质、等比性质，以及比例中项和黄金分割。下一节我们将学习相似三角形的性质及判定方法，所以这节课起着承上启下的作用，至关重要。
首先，我们一起回顾一个熟悉的定理——平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。比如，如图所示，(L_1\parallel L_2\parallel L_3)，直线(AB)和(A_1B_1)都被这一组平行线所截。若(AB = BC)，则(A_1B_1 = B_1C_1)，这是一组平行线截线的特殊情况，叫做平行线等份线段。
那么今天，我们一起来研究平行线截线的一般情形。观察：如图，有一组平行直线(L_1\parallel L_2\parallel L_3\parallel \cdots\parallel L_k\parallel \cdots\parallel L_N)。另外，直线(A_1A_N)与直线(B_1B_N)被这组平行直线分别截于点(A_1)、(A_2)、(A_3)、(\cdots)、(A_k)、(A_{N - 1})、(A_N)和(B_1)、(B_2)、(B_3)、(\cdots)、(B_k)、(B_{N - 1})、(B_N)。这里有一组平行线被(A_1A_N)和(B_1B_N)所截，同学们根据平行线等份线段定理可以得到什么呢？如果(A_1A_2 = A_2A_3 = \cdots = A_{N - 1}A_N)，那么(B_1B_2 = B_2B_3 = \cdots = B_{N - 1}B_N)，其中省略号省去的部分记为(A_k)和(B_k)。
那么请大家想一想，(A_1A_k)与(A_kA_N)的比，和(B_1B_k)与(B_kB_N)的比情况如何呢？这时如果设(A_1A_2 = A_2A_3 = \cdots = A_{N - 1}A_N = a)，(B_1B_2 = B_2B_3 = \cdots = B_{N - 1}B_N = b)，那么容易推得：
(A_1A_2∶A_2A_3 = B_1B_2∶B_2B_3 = a∶a = 1∶1)；
(A_1A_2∶A_2A_4 = B_1B_2∶B_2B_4 = a∶2a = 1∶2)；
(A_1A_2∶A_2A_5 = B_1B_2∶B_2B_5 = a∶3a = 1∶3)。
以此类推，(A_1A_k∶A_kA_N = (k - 1)a∶(N - k)a = (k - 1)∶(N - k))，(B_1B_k∶B_kB_N)也等于((k - 1)∶(N - k))，所以(A_1A_k∶A_kA_N = B_1B_k∶B_kB_N)。
那这个结论用文字语言怎么说呢？用文字语言可以说成：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。用几何语言说，就是：如图，因为(L_1\parallel L_2\parallel L_3)，所以(AB∶BC = DE∶EF)。这个结论就是我们今天学习的新知——平行线截线的一般情形，即平行线分线段成比例。
在这个推理中，我们采用了从特殊到一般的形式，将平行线等份线段的特殊情形转化为一般情形。其实这个基本事实还可以通过计算三角形的面积方法来得到。连接(AE)、(CE)。由图可知，(\triangle ABE)和(\triangle CBE)分别以(AB)、(BC)为底，高是相同的，所以(\triangle ABE)的面积与(\triangle CBE)的面积之比就是底之比，即(S_{\triangle ABE}∶S_{\triangle CBE} = AB∶BC)。同样的道理，连接(BD)和(BF)，可得(\triangle DBE)的面积与(\triangle FBE)的面积之比(S_{\triangle DBE}∶S_{\triangle FBE} = DE∶EF)。
现在我们再来看(\triangle ABE)和(\triangle DBE)之间的面积关系。因为(L_1\parallel L_2)，平行线间的距离处处相等，那么(\triangle ABE)与(\triangle DBE)的高相等，底都是(BE)，因此(\triangle ABE)和(\triangle DBE)同底等高，它们的面积相等。又因为(L_2\parallel L_3)，所以(\triangle BCF)与(\triangle ECF)的高相等，底都是(CF)，因此(\triangle BCF)和(\triangle ECF)同底等高，它们的面积也相等。所以(S_{\triangle ABE}∶S_{\triangle CBE} = S_{\triangle DBE}∶S_{\triangle FBE})，这样就可以得到(AB∶BC = DE∶EF)了。
有了这个平行线分线段成比例的基本事实，就可以解决很多线段的计算问题了。我们来看这样一个例题，如图所示，(L_1\parallel L_2\parallel L_3)，(AB∶BC = 3∶2)，(DE = 6)，求(DF)的长。在这题中，(L_1)、(L_2)、(L_3)是一组平行线，直线(AC)被它们所截，交(L_1)于点(A)，交(L_2)于点(B)，交(L_3)于点(C)；直线(DF)也被它们所截，交(L_1)于点(D)，交(L_2)于点(E)，交(L_3)于点(F)。
由平行线分线段成比例可得(AB∶BC = DE∶EF = 3∶2)。又因为(DE = 6)，所以(EF = 4)，(DF = DE + EF = 6 + 4 = 10)。这就是利用平行线分线段成比例进行的计算问题。
当两条直线被一组平行线所截得到的对应线段成比例时，一般我们称(AB∶BC = DE∶EF)叫做上比下等于上比下。根据比例线段的相关性质还可以得到：上比全等于上比全，即(AB∶AC = DE∶DF)；下比全等于下比全，即(BC∶AC = EF∶DF)。
下面我们再来看看这个图形的几种变化。首先，请同学们仔细观察现在屏幕上的图形与刚才的图形有何区别呢？这个图形较前面的图形，保持平行线不变，只是移动了直线(AC)的位置，使得直线(AC)与(DF)的交点在(L_1)上。这时刚才的结论还成立吗？(AB∶BC)还等于(DE∶EF)吗？仍然成立。为什么呢？因为平移(AC)使得平移前和平移后的直线与(L_1)、(L_2)构成了一个平行四边形。由于平行四边形对边相等，所以平移后(AB)的长度仍然保持不变，同理线段(BC)的长度也保持不变，那就可以得到仍然有(AB∶BC = DE∶EF)。
好，让我们继续平移直线(AC)。此时(AC)与(DF)的交点在(L_1)与(L_2)之间，如图所示，同学们，(AB∶BC)与(DE∶EF)的值还相等吗？结论仍然成立。同样的道理，我们继续平移直线(AC)，让(AC)与(DF)的交点在直线(L_2)上。这时形成的图形有点像(X)型结构，我们依然根据前面的原理可以得到(AB∶BC = DE∶EF)的值。再继续平移直线(AC)，让(AC)与(DF)的交点在直线(L_3)上。这时的图形有点像倒过来的(A)型结构，(AB∶BC)还是等于(DE∶EF)的值。
同学们，在刚才这一组变化中，图形结构虽然在发生着改变，但直线(AC)与(DF)被(L_1)、(L_2)、(L_3)这组平行线所截的线段仍然成比例，总有(AB∶BC = DE∶EF)。这就是平行线分线段成比例的推论了，也就是平行线分线段成比例在三角形中的特殊情况。
如图，直线(DE)平行于(\triangle ABC)的一边(BC)，分别交另两边(AB)、(AC)于点(D)、点(E)，得到(AD∶BD = AE∶EC)。如果延长(\triangle ABC)中(AB)、(AC)两边，直线(DE)平行于(BC)，分别交(AB)、(AC)的延长线于点(D)、点(E)，同样可以得到(AD∶BD = AE∶EC)。用文字语言来归纳，这个推论叫做：平行于三角形一边的直线截其他两边或两边延长线，所得的对应线段成比例。