师：同学们大家好，这节课我们将一起学习比例线段的相关知识，这是九年级数学上册相似形的第一节内容。在前两个课时，我们已经学习了什么是相似图形以及成比例线段的定义。
今天，我们来思考一下，两条线段的比是它们长度的比，也就是两个数的比，因此也具有关于两个数成比例的性质。那么，比例到底具有哪些性质呢？
首先，我们来看比例的基本性质。如果(a:b = c:d)（(b)、(d)均不为(0)），那么(ad = bc)。这是为什么呢？这是根据等式的基本性质，两边同乘以(bd)得到的。反之，如果(ad = bc)，同样根据等式性质，就可以得到(a:b = c:d)，这就是比例的基本性质。
那么，根据这个基本性质还能得到什么呢？
第二，合比性质。如果(a:b = c:d)，那么((a + b):b = (c + d):d)。这又是为什么呢？我们可以在等式两边同加(1)，还是根据等式的基本性质，等式仍然成立，通分之后就能得到这个结果。
那除此之外，还能得到什么呢？
第三，等比性质。如果(A_1:B_1 = A_2:B_2 = A_3:B_3 = \cdots = A_n:B_n = k)，那么((A_1 + A_2 + A_3 + \cdots + A_n):(B_1 + B_2 + B_3 + \cdots + B_n) = A_1:B_1 = k)。这是为什么呢？设(A_1:B_1 = A_2:B_2 = A_3:B_3 = \cdots = A_n:B_n = k)，那么我们可以得到(A_1 = k\times B_1)，(A_2 = k\times B_2)，(A_3 = k\times B_3)，(\cdots)，(A_n = k\times B_n)。将这些式子代入要证明的等式左边，就可以提取公因式并约分，从而得到等比性质。
以上就是比例的基本性质、合比性质以及等比性质。接下来，我们看看什么是比例中项。如果作为比例内项的两条线段相等，也就是(a:b = b:c)，那么线段(b)就叫做线段(a)与(c)的比例中项。这些知识都将为这章相似形的学习奠定坚实的基础。而今天这节课，我们还将继续走进几何中最美的一刻——黄金分割。
下面，我们先来利用比例的基本性质和合比性质解决这样一个问题。
已知，在(\triangle ABC)中，(AD:DB = AE:EC)，要求证两个结论：一个是(AB:DB = AC:EC)；另一个是(AD:AB = AE:AC)。
我们先证明第一个。在(\triangle ABC)中，(AB = AD + BD)，(AC = AE + EC)。由已知条件(AD:DB = AE:EC)，根据合比性质，可推出((AD + DB):DB = (AE + EC):EC)，也就是(AB:DB = AC:EC)。
再来看第二个结论，如何证明(AD:AB = AE:AC)呢？
因为(AD:DB = AE:EC)，所以(DB:AD = EC:AE)。根据合比性质，分子加分母比分母等于分子加分母比分母，即((AD + DB):AD = (AE + EC):AE)。又因为(AD + DB = AB)，(AE + EC = AC)，所以(AB:AD = AC:AE)，再倒过来就是(AD:AB = AE:AC)了。这就是利用合比性质解决的比例问题。
例(2)，在地图或工程图纸上都标有比例尺，就是图上长度和实际长度的比。现在一张比例尺为(1:5000)的图纸上，量得一个(\triangle ABC)三边为(AC = 3)厘米，(BC = 4)厘米，(AB = 5)厘米。问，这个图纸所反映的实际(\triangle A'B'C')的周长是多少呢？
平时解决这个问题，我们会采用比例尺分别计算三边，然后相加求和。但如果使用等比性质就会更加方便。
因为(AB:A'B' = BC:B'C' = AC:A'C' = 1:5000)，根据等比性质，((AB + BC + AC):(A'B' + B'C' + A'C') = 1:5000)，也就是图纸上的三角形周长与实际三角形的周长比为(1:5000)。这样我们就可以先计算图纸上的三角形周长，再乘以(5000)就能得到实际三角形的周长，这就是等比性质的巧妙运用。
例(3)，如图，已知线段(AB)长为(a)，点(P)为(AB)上一点，且使(BP:AP = AP:AB)，求线段(AP)的长和(AP:AB)的值。同学们，如何解决这个问题呢？
由于本题中有三条线段，有已知的也有未知的，要想研究它们的数量关系，就要用方程的思想。设(AP)为(x)，那么(BP = a - x)。因为(BP:AP = AP:AB)，所以((a - x):x = x:a)，将这个比例式转化为一个一元二次方程，解这个关于(x)的一元二次方程就可以得到两个解：(x_1 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}a)，(x_2 = \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}a)。而线段长度不可能为负数，所以舍去负值，就能得到(AP = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}a)，那么(AP:AB = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618)。大家也可以令线段(AB)的长为(1)，同样可以得到这个结果。
那么在这个问题中，点(P)把线段(AB)分成了两条线段(AP)和(BP)，其中(AP > BP)。如果较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，也就是(BP:AP = AP:AB)，那么我们就把这样的分割叫做黄金分割，分割点(P)就叫这条线段的黄金分割点。(AP)与(AB)的比值，或者(BP)与(AP)的比值都叫做黄金比值，为(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})，近似约为(0.618)，这个数字就叫做黄金数。
从分割的角度来看，全线段比较长线段等于较长线段比较短线段，也就是较长线段的平方等于全线段乘以较短线段。从比值的角度来看，较长线段比全线段的值为(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})，较短线段比较长线段的值也为(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})，这就是黄金分割比。
同学们，黄金分割指的是线段上一个点把这条线段进行分割，两部分线段之比是黄金比。那么大家想，一条线段有几个黄金分割点呢？是不是只有一个黄金分割点呢？其实一条线段有两个黄金分割点，它们关于线段的中点是对称的。比如上面的图形中，点(P)离点(B)近一些，离点(A)远一些，还可以有一个黄金分割点(D)，它离点(A)近一些，离点(B)远一些。这时(AB:BD = BD:AD)，也就是(BD^2 = AB×AD)，(AD)就是较短线段，(BD)就是较长线段。因此，(AD:BD = \frac{\sqrt{5} - 1}{2})，(AB)就是全线段，(BD:AB = \frac{\sqrt{5} - 1}{2})。
其实早在古希腊，就有前辈提出能否将一条线段分成不相等的两个部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与全线段的比，这其实就是黄金分割问题。而发现黄金分割的是古希腊哲学家毕达哥拉斯。一天，毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过，被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引，便站在那里仔细聆听，似乎这声音中隐匿着什么样的秘密。他走进作坊，拿出一把尺，量了一下铁锤和铁砧的尺寸，发现它们之间存在着一种十分和谐的关系。