师：同学们好，欢迎来到线上课堂。今天我们共同学习第23章第二节解直角三角形的第一课时。
首先思考个问题，如果把三角形的每一条边或每一个角三等分看作一个元素，那三角形中共有几个元素呢？其实不难回答，三角形有三条边和三个角，所以共有6个元素。
在Rt△ABC中，∠C = 90°，除直角外还有几个元素呢？我们看示意图，在Rt△ABC中，∠A所对的边BC记为a，∠B所对的边AC记为b，∠C所对的边AB记为c，所以除直角外还有5个元素，即a、b、c、∠A和∠B。
找出这5个元素后，大家思考一下，这5个元素之间有哪些等量关系呢？回忆一下所学知识，从三边角度看，直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。从两锐角角度看，直角三角形两锐角互余。那么边和角之间又有怎样的关系呢？我们在第一节学过锐角三角函数的定义，sinA = a/c，cosA = b/c，tanA = a/b。
下面从三个不同角度进行知识回顾：
三边之间的关系：根据勾股定理，a2 + b2 = c2，由此还能推出c2 - a2 = b2，c2 - b2 = a2 。知道直角三角形的其中两边，就能求出第三边长度。
锐角之间的关系：直角三角形两锐角互余，即∠A + ∠B = 90°，也可以写成∠A = 90° - ∠B 。已知其中一个锐角就能求出另一个锐角。
边角之间的关系：sinA = ∠A的对边 / 斜边 = a/c，cosA = ∠A的邻边 / 斜边 = b/c，tanA = ∠A的对边 / ∠A的邻边 = a/b 。对于锐角B也有类似关系，sinB = b/c，cosB = a/c，tanB = b/a 。
回顾了这些关系，对直角三角形的确定有什么作用呢？经过这节课探究会发现，这些关系是直角三角形确定的重要依据。
接着看直角三角形确定的条件。想一想，直角三角形仅知道一个直角，能确定这个三角形吗？显然不能，这样的直角三角形有无数多个。那还需要从这5个元素中添加几个元素呢？
看个例子，在Rt△ABC中，∠C = 90° 。若要添加下列哪几个元素，就可以求出剩余元素来确定这个直角三角形呢？给定的5个元素是：1. a = 1；2. b = √3；3. c = 2；4. ∠A = 30°；5. ∠B = 60° 。
先探究只添加一个元素的情况，这个元素可以是一条边或者一个角，很显然这样无法确定直角三角形。
那添加两个元素试试。先考虑添加两条边，比如选择1和2来求3、4、5 。根据勾股定理，已知a = 1，b = √3时，c2 = a2 + b2 = 12 + (√3)2 = 4，因为三角形边长为正数，所以c = 2 。又因为sinA = a/c = 1/2，所以∠A = 30° 。再根据两锐角互余，∠B = 90° - 30° = 60° ，可以求出3、4、5的元素，说明能确定直角三角形。
有同学可能说，不选1和2，选1和3行不行呢？同样，已知a = 1，c = 2 ，根据勾股定理，b2 = c2 - a2 = 22 - 12 = 3，所以b = √3 。再由边与角的关系，sinA = 1/2，可得∠A = 30° ，进而求出∠B = 60° ，这是已知1、3，求2、4、5 。还能已知2、3，求1、4、5 。所以发现已知两边可以确定直角三角形。
那已知两个元素一定要已知两边吗？不一定。尝试添加两个角，同学们会发现，根据两锐角互余关系，添加两个角和添加一个角从某种实际意义上来说没区别，会得出形状相同的一系列相似三角形，大小无法确定，所以不能确定直角三角形。
还有一种情况是添加一条边和一个角。比如已知1、4，求2、3、5 ，即a = 1，∠A = 30° ，求b、c以及∠B的值。
在Rt△ABC中，因为∠C = 90°，∠A = 30°，根据两角互余，∠B = 60° 。又因为a = 1，在直角三角形中30°所对直角边是斜边的一半，所以c = 2 。再根据勾股定理，b2 = c2 - a2 ，可求出b = √3 。
发现这样是可以的。添加一条边和一个角，这不是唯一条件，还有多种选择，比如已知1、5求2、3、4 ；已知2、4求1、3、5 ；已知2、5求1、3、4 ；已知3、4求1、2、5 ；已知3、5求1、2、4 。共有6种不同变化，共同特征都是选择一条边和一个角。再证明一下已知1、5求2、3、4 ，a = 1，∠B = 60° ，根据∠A + ∠B = 90° ，可得∠A = 30° ，30°所对直角边a是斜边c的一半，所以c = 2 ，最后根据勾股定理求出b的长度，发现完全可以确定直角三角形。
综上所述，对于一个直角三角形，除直角外，知道两个元素且至少有一条边，就可以确定这个直角三角形。像这样，在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形。
下面应用所学看例一。在Rt△ABC中，若∠C = 90°，∠B = 42°6′，c = 287.4 ，解这个直角三角形。题目提示因为是非特殊角，正弦、余弦、正切值一般通过查表或者计算器获取。参考数据有sin42°6′≈0.6704，cos42°6′≈0.7420，tan42°6′≈0.9036，结果精确到0.1 。
审题可知，题目给出一个角和一个边，满足一条边和一个角的条件，可以解直角三角形。由cosB = a/c可得a = c × cosB ，角B的对边b与斜边的比值为该角正弦值，即sinB = b/c，所以b = c × sinB 。又因为两锐角互余，∠A = 90° - ∠B 。
看解答过程：
由cosB = a/c得a = c × cosB ≈ 287.4 × 0.7420 ≈ 213.3 ；