师：同学们好，今天我们继续学习第22章第四节图形的位似变换。首先，对上一节课的内容做一个回顾与复习。什么叫位似图形？两个图形同时满足下面两个条件：第一，每组对应点所在的直线都经过同一个点；第二，每组对应点到对应点连线交点的距离的比值相等，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。位似图形的性质是什么呢？位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，也就是相似比。利用位似，可以把一个图形放大或缩小。对应点在位似中心同侧的位似图形叫做同向位似图形，对应点在位似中心异侧的位似图形叫做反向位似图形。
在七八年级，我们已经学过了两种几何变换：平移和轴对称，也知道了这两种几何变换在平面直角坐标系中是如何用点的坐标来表示的。我们先来看一下在平面直角坐标系中如何用点的坐标变化来表示平移。P点的坐标是$(x,y)$，向右平移$a$个单位，坐标由$(x,y)$变为$(x + a,y)$；向左平移$a$个单位，坐标由$(x,y)$变为$(x - a,y)$；向上平移$b$个单位，坐标由$(x,y)$变为$(x,y + b)$；向下平移$b$个单位，坐标由$(x,y)$变为$(x,y - b)$。左右平移时，对应点的横坐标加上或减去平移的单位长度，纵坐标不变；上下平移时，点的横坐标不变，纵坐标加上或减去平移的单位长度。
再来看看轴对称变化是如何表示的。点$(a,b)$关于$x$轴的对称点是？关于$x$轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，点$(a,b)$关于$x$轴对称的点是$(a, -b)$。点$(a,b)$关于$y$轴的对称点是？关于$y$轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变，点$(a,b)$关于$y$轴的对称点是$(-a,b)$。点$(a,b)$关于原点的对称点是？关于原点对称，横纵坐标均互为相反数，点$(a,b)$关于原点的对称点是$(-a, -b)$。
我们知道在直角坐标系中可以利用变化前后两个图形对应顶点的坐标之间的关系表示平移、轴对称，那么位似是否也可以用两个图形坐标之间的关系来表示呢？在平面直角坐标系中，有两点，$A$点$(6,3)$，$B$点$(6,0)$。以原点$O$为位似中心，相似比为$\frac{1}{3}$，把线段$AB$缩小，观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？首先作射线$OA$，$B$点在$x$轴上，不需要作$OB$。根据位似图形的定义，对应点肯定在射线上，那么$OA'$与$OA$的比是$1:3$，这样就很容易找到$A$点的对应点$A'$的位置。我们能够根据图形确定$A'$点的坐标，观察坐标的变化，你能发现是怎么变化的吗？对，$A$点的横纵坐标分别乘以了$\frac{1}{3}$，就变换成了$A'$点的坐标了，这是缩小。
下面我们看一个放大的例子。如图，在平面直角坐标系中，三角形$ABC$的顶点分别是$A(1,1)$，$B(3,2)$，$C(4,1)$。以原点$O$为位似中心，相似比为$3$作三角形$ABC$的位似图形。观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？设$A$点的对应点为$A'$，则$\frac{OA'}{OA} = 3$，很快就能确定$A'$的位置，$B'$、$C'$的位置也同样确定。根据图形确定$A'$、$B'$、$C'$三点的坐标，观察坐标的变化，你能发现是怎么变化的吗？对，点$A$、$B$、$C$横纵坐标分别乘以$3$，就变化成了$A'$、$B'$、$C'$的坐标。
观察上面的作图结果，思考：当以原点为位似中心的两个位似图形位于原点同侧，即同向位似图形时，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？在平面直角坐标系中，如果以原点$O$为位似中心，相似比为$k$（$k > 0$），原图形上的点的坐标是$(x,y)$，那么同向位似图形的对应点的坐标是$(kx,ky)$。当$k > 1$时，图形放大；当$k < 1$时，图形缩小。
刚才我们探究的是以原点为位似中心的同向位似图形的对应点坐标的变化，那么以原点为位似中心的反向位似图形对应点坐标又是怎么变化的呢？在平面直角坐标系中有两点，$A$点是$(6,3)$，$B$点是$(6,0)$。以原点$O$为位似中心，相似比为$\frac{1}{3}$，把线段$AB$缩小，观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？还是刚才的题，只不过是做反向位似图形，做射线$AO$，$BO$与$x$轴重合不需要做。设$A$点的对应点为$A'$点，根据$\frac{OA'}{OA} = \frac{1}{3}$，我们就能确定$A'$的位置，以及点$B$的对应点$B'$的位置。我们就能根据图形确定$A'$、$B'$的坐标，观察坐标的变化，你能发现是怎么变化的吗？对，$A$、$B$的横纵坐标分别乘以了$-\frac{1}{3}$，就变换成了$A'$、$B'$的坐标了。
同样，以原点$O$为位似中心，相似比为$3$，将三角形$ABC$放大为反向位似图形。设$A$点的对应点为$A'$，由$\frac{OA'}{OA} = 3$，很快就能确定$A'$的位置，$B'$、$C'$的位置也同样确定。根据图形我们就能确定$A'$、$B'$、$C'$这三点的坐标。观察坐标的变化，你能发现是怎么变化的吗？对点$A$、$B$、$C$横纵坐标分别乘以$-3$，就变化成了$A'$、$B'$、$C'$的坐标。
观察上面的作图结果，思考：当以原点为位似中心的两位似图形位于原点两侧，即反向位似图形时，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？在平面直角坐标系中，如果以原点$O$为位似中心，相似比为$k$（$k > 0$），原图形上的点的坐标是$(x,y)$，那么反向位似图形上点的坐标是$(-kx, -ky)$。
我们可以总结一下位似图形的坐标规律：原图形上点的坐标是$(x,y)$，相似比为$k$（$k > 0$）时，同向位似图形对应点的坐标是$(kx,ky)$，反向位似图形对应点的坐标是$(-kx, -ky)$。注意，上面的坐标的变化规律是以原点为位似中心的位似变化中，图形上对应点的变化规律，一定要注意是以原点为位似中心的变化。
将图中的图形横向伸长到原来的两倍，那么它的坐标将会发生什么变化呢？变化前后两个图形相似吗？先把图形上关键点的坐标写出来，再把横向伸长后关键点的对应点的坐标写出来。观察对应点的坐标，思考坐标是怎样变化的，纵坐标保持不变，横坐标分别变成原来的两倍。原图形与横向伸长图形不相似。
将图中的图形纵向伸长到原来的两倍，那么它的坐标将会发生什么变化？前后两个图形相似吗？看图思考坐标是怎么变化的？横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的两倍。原图形与纵向伸长图形不相似。
把下图中的三角形$ABC$按照$(x,y)$变化成$3$倍的$(x,y)$，或者是$(x,y)$变化成两倍的$x$、$3$倍$y$的方式变换，画出变化后的图形，它们与原图形相似吗？我们先按照$(x,y)$变化成$3$倍的$(x,y)$的方式变化，原图形与变化后的图形不相似。再按照$(x,y)$变化成两倍的$x$、$3$倍$y$的方式变化，原图形与变化后图形也不相似。
根据这两个作图，我们可以得出这样一个结论：在平面直角坐标系中，在做$(x,y)$变化成$a$倍的$x$、$b$倍的$y$这样的一个变化时，当$a = b \neq 0$时，为相似变化。平移时，对应点的横坐标或纵坐标加上或减去平移的单位长度；轴对称时，以$x$轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；以$y$轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，这两种变化称为全等变化。位似若以原点为位似中心，则变化前后两个图形对应点的横纵坐标或纵坐标之比的绝对值等于相似比，这种变化称为相似变化，它包括扩大、缩小或者不变。
如图所示，正方形$OEGF$和正方形$ABCD$是位似图形，点$F$的坐标是$(-1,1)$，点$C$的坐标是$(-4,2)$，则这两个正方形位似中心的坐标是什么？由图形可知，点$B$的坐标是$(-2,2)$，点$E$的坐标是$(0,1)$。利用一次函数的知识可以求得直线$BE$的解析式是$y = -\frac{1}{2}x + 1$，直线$CF$的解析式是$y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$。求这两条直线交点的坐标，即求两解析式组成的方程组的解，解得$x = 2$，$y = 0$。不要忘记分类讨论谁与谁是对应点。
点$A$与点$O$，点$B$与点$E$，点$C$与点$F$，点$D$与点$G$是对应点。其实还有一种情况，点$C$与点$O$，点$D$与点$E$，点$A$与点$F$，点$B$与点$G$，这实际上是做反向位似图形。$D$点的坐标是$(-4,0)$，$E$点的坐标是$(0,1)$，$C$点和$O$点的坐标已知。利用一次函数的知识可以求得直线$DE$的解析式是$y = \frac{1}{4}x + 1$，直线$CO$的解析式是$y = -\frac{1}{2}x$。两条直线相交，求交点坐标，这就转化成了解方程组的知识，我们很快就能求出$x = -\frac{4}{3}$，$y = \frac{2}{3}$。所以答案是$(2,0)$或者是$(-\frac{4}{3},\frac{2}{3})$。
找位似中心的方法：位似图形中对应顶点所在的直线相交于位似中心。利用这一性质，只要用直尺把位似图形中对应顶点所在的直线的交点找出来，即可找到位似中心。在此类题中，要注意相关线段的长度与点坐标之间的相互转化。
变式练习：已知$P$是$x$轴正半轴上的点，三角形$ADC$是由等腰直角三角形$EOG$以$P$为位似中心变化得到的。如图已知$EO = 1$，$OD = DC = 2$，则位似中心$P$点的坐标是什么？先在图上找到位似中心，位似中心是对应点连线的交点，$P$就是位似中心交点$P$在$x$轴上。求$P$点的坐标，实际上就是求直线$AG$与$x$轴的交点。由题意可知，$A$点的坐标是$(2,2)$，$G$点的坐标是$(0, -1)$。可得直线$AG$的解析式为$y = \frac{3}{2}x - 1$，令$y = 0$，可求得$x = \frac{2}{3}$，所以$P$点的坐标是$(\frac{2}{3},0)$。
练习2：如图，正方形$ABCD$和正方形$OEGF$中，点$A$和点$F$的坐标分别是$(3,2)$、$(-1, -1)$，则两个正方形的位似中心的坐标是什么？要注意哪些点是对应点。先看同向位似，由题意可知，$A$点的坐标是$(3,2)$，$E$点的坐标是$(-1,0)$，$C$点的坐标是$(5,0)$，$D$点的坐标是$(0, -1)$。利用一次函数的知识，可以求得直线$AE$的解析式是$y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$，直线$CG$的解析式是$y = \frac{1}{5}x - 1$。求交点坐标即解两解析式组成的方程组，解得$x = -5$，$y = -2$。再看反向位似，和刚才的题相似，交点在$x$轴上，求交点坐标实际上就是求直线$AG$与$x$轴的交点。$A$点的坐标是$(3,2)$，$G$点的坐标是$(0, -1)$。利用一次函数的知识可以求得直线$AG$的解析式是$y = x - 1$，令$y = 0$，则$x = 1$。答案是$(-5, -2)$或者是$(1,0)$。
如图，正方形$OABC$与正方形$ODEF$是位似图形，$O$为位似中心，相似比为$1:\sqrt{2}$，点$A$的坐标是$(1,0)$，则$E$点的坐标是什么？正方形$OABC$与正方形$ODEF$的相似比是$1:\sqrt{2}$，正方形$ODEF$是放大的，即$k > 1$，那么正方形$ODEF$与正方形$OABC$相似比为$\sqrt{2}:1$。$A$点的坐标告诉我们正方形$OABC$边长是$1$，$E$点的对应点是$B$点，$B$点的坐标是$(1,1)$，图形已经画好是同向位似图形，所以$E$点的坐标是$(1\times\sqrt{2},1\times\sqrt{2})$，答案是$(\sqrt{2},\sqrt{2})$，所以选择C。
如图，梯形$OABC$与梯形$OA'B'C'$是以原点$O$为位似中心的位似图形，点$B$的坐标是$(\sqrt{3}, \sqrt{3})$，$AB = 1$，则点$B'$的坐标是什么？点$A'$的坐标是什么？由图形可知，$C$点的坐标是$(2,0)$，$C'$点的坐标是$(-4,0)$，可以得知这两个梯形的相似比是$2$，而且这两个图形都是以原点$O$为位似中心的反向位似图形。$B$点的坐标是$(\sqrt{3}, \sqrt{3})$，所以$B'$的坐标是$(\sqrt{3}\times(-2),\sqrt{3}\times(-2))$，答案是$(-2\sqrt{3}, -2\sqrt{3})$。因为$AB$与$x$轴平行，且$AB = 1$，$A$点的坐标是$(\sqrt{3} - 1,\sqrt{3})$，$A'$点的坐标是$((\sqrt{3} - 1)\times(-2),\sqrt{3}\times(-2))$，答案是$(-2\sqrt{3} + 2, -2\sqrt{3})$。
在平面直角坐标系中，三角形$ABC$顶点$A$的坐标是$(2,3)$，若以原点$O$为位似中心画三角形$ABC$的位似图形三角形$A'B'C'$，使三角形$ABC$与三角形$A'B'C'$的相似比为$2:3$，则$A'$的坐标是什么？三角形$ABC$与三角形$A'B'C'$的相似比是$2:3$，三角形$A'B'C'$是放大的，即$k > 1$，则三角形$A'B'C'$与三角形$ABC$的相似比是$3:2$。根据前面所学的内容可知，对应点的坐标是$(kx,ky)$，所做的图形可以是同向位似图形，也可以是反向位似图形。$A$点的坐标是$(2,3)$，所以$A'$点的坐标是$(2\times\frac{3}{2},3\times\frac{3}{2})$或者是$(2\times(-\frac{3}{2}),3\times(-\frac{3}{2}))$，答案是B。
如图，$A$是反比例函数$y = \frac{k}{x}$（$x > 0$）图像上的一点，点$B$、$D$在$y$轴的正半轴上，三角形$ABD$是三角形$COD$关于点$D$的位似图形，且三角形$ABD$与三角形$COD$的相似比是$1:3$，三角形$ABD$的面积是$1$，则该反比例函数的表达式是什么？设$AB = a$，$BD = b$。由三角形$ABD$是三角形$COD$关于点$D$的位似图形，且三角形$ABD$与三角形$COD$的相似比是$1:3$，可知$AB$与$x$轴平行，$DO = 3b$，$BO = 4b$。三角形$ABD$的面积是$1$，由三角形的面积公式可知$\frac{1}{2}ab = 1$，那么$ab = 2$。$A$点的坐标是$(a,4b)$，点$A$在反比例函数图像上，所以$k = 4ab = 8$，答案是$y = \frac{8}{x}$。
我们对这节课的内容做小结，这节课我们学了哪些内容？在平面直角坐标系中，如果以原点$O$为位似中心，原图形上的点的坐标是$(x,y)$，当相似比$k > 0$时，同向位似图形上对应点的坐标为$(kx,ky)$，反向位似图形上对应点的坐标为$(-kx, -ky)$。在平面直角坐标系中，在作$(x,y)$变化成$a$倍的$x$、$b$倍的$y$变化时，当$a = b \neq 0$时，为相似变化。
布置作业：课本第98页，练习第1题和第2题；第99页习题，第3题和第4题。