师：同学们好，今天我们继续学习二次函数的相关知识。首先，我们一起回顾一下一次函数是怎么学习的。我们先学习了一次函数的概念，接着是一次函数的图像和性质，然后探讨了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式以及二元一次方程的关系，最后学习了一次函数的应用。
那大家想一想，二次函数我们又是如何学习的呢？第一节我们学了二次函数的概念，第二节学了二次函数的图像和性质，接下来要学什么呢？类比一次函数的学习方式，今天我们来学习第三节：二次函数与一元二次方程。
首先，我们一起回顾一下一次函数与一元一次方程的关系。已知关于(x)的一元一次方程(kx + b = 0)的解为(x = 1)，那么当(x)等于几时，一次函数(y = kx + b)的函数值为(0)呢？也就是(y = 0)时，此时(kx + b = 0)。已知(kx + b = 0)的解为(x = 1)，所以当(x = 1)时，函数值为(0)。
再看，已知一次函数(y = kx + b)的图像如图所示，那么关于(x)的一元一次方程(kx + b = 0)的解为多少呢？由图像可知，当(x = 2)时，(y = 0)，即(kx + b = 0)，所以(kx + b = 0)的解为(x = 2)。
通过以上两小题，我们回忆起：关于(x)的一元一次方程(kx + b = 0)的解，从函数解析式角度来看，就是一次函数(y = kx + b)，当(y = 0)时所对应的(x)的值；从函数图像角度来看，该方程的解就是直线(y = kx + b)与(x)轴（即直线(y = 0)）交点的横坐标。反之，函数(y = kx + b)，当(y = 0)时所对应的(x)的值，就是对应的一元一次方程(kx + b = 0)的解；直线(y = kx + b)与(x)轴（直线(y = 0)）交点的横坐标，也是对应的方程(kx + b = 0)的解。
我们从函数解析式和函数图像这两个角度，也就是从数形结合的角度，认识了一次函数与一元一次方程的关系。那二次函数与一元二次方程又有怎样的关系呢？我们来看这部分内容。
已知二次函数：第一个(y = x2 - 2x)，第二个(y = x2 - 2x + 1)，第三个(y = x2 - 2x + 2)，它们的图像如图所示。
第一问，分别观察三个图像，每个图像与(x)轴各有几个交点？若有，写出交点坐标。从解析式角度看，这三个图像可以通过彼此上下平移得到。观察第一个函数(y = x2 - 2x)，其图像与(x)轴有两个交点，坐标分别是((0,0))和((2,0))；第二个函数(y = x2 - 2x + 1)的图像与(x)轴只有一个交点，是((1,0))；第三个函数(y = x2 - 2x + 2)的图像与(x)轴没有交点。
第二问，解一元二次方程：第一个(x2 - 2x = 0)，第二个(x2 - 2x + 1 = 0)，第三个(x2 - 2x + 2 = 0)。第一个方程可以用因式分解提公因式法解得(x_1 = 0)，(x_2 = 2)；第二个方程可以通过因式分解，利用完全平方公式解得(x_1 = x_2 = 1)；第三个方程通过计算发现根的判别式(\Delta\lt0)，所以该方程无解。
第三问，二次函数(y = ax2 + bx + c)图像与(x)轴交点的坐标与一元二次方程(ax2 + bx + c = 0)的根有什么关系？在解决这个问题之前，我们先对比一下前两问。第一个函数是(y = x2 - 2x)，第一个方程是(x2 - 2x = 0)；第二个函数是(y = x2 - 2x + 1)，第二个方程是(x2 - 2x + 1 = 0)；第三个二次函数是(y = x2 - 2x + 2)，第三个方程是(x2 - 2x + 2 = 0)。我们发现每一个二次函数解析式等号右边的代数式和它对应的一元二次方程等号左边的代数式一致。再观察每一个二次函数图像与(x)轴交点的坐标：第一个函数与(x)轴交点是((0,0))和((2,0))，对应的方程解是(x_1 = 0)，(x_2 = 2)；第二个函数与(x)轴有一个交点((1,0))，对应的方程有两个相等的实数根(x_1 = x_2 = 1)；第三个二次函数(y = x2 - 2x + 2)与(x)轴没有交点，对应的方程(x2 - 2x + 2 = 0)无解。
由此我们发现，二次函数的图像与(x)轴交点的横坐标就是对应的一元二次方程的解。所以我们得到：二次函数(y = ax2 + bx + c)图像与(x)轴交点的横坐标就是对应的一元二次方程(ax2 + bx + c = 0)的解。
小结一下：关于(x)的一元二次方程(ax2 + bx + c = 0)的根，从函数解析式角度就是二次函数(y = ax2 + bx + c)，当(y = 0)时所对应的(x)的值；从函数图像角度来看，就是将(y = ax2 + bx + c)与(x)轴（即直线(y = 0)）交点的横坐标。反之，二次函数(y = ax2 + bx + c)，当(y = 0)时所对应的(x)的值就是对应方程的根；抛物线(y = ax2 + bx + c)与(x)轴（直线(y = 0)）交点的横坐标就是对应的方程的根。
我们从函数解析式和函数图像这两个角度，也就是从数形结合的角度，认识了二次函数与一元二次方程的关系。那现在大家可以不画图像就能确定上述三个二次函数的图像与(x)轴交点的个数吗？想一想，试一试。
我们一起来分析一下，二次函数的图像与(x)轴交点的横坐标就是对应的一元二次方程的解，所以二次函数的图像与(x)轴交点的个数其实就是对应的一元二次方程根的情况，我们可以通过根的判别式(\Delta)（即(b2 - 4ac)）与(0)作比较。所以我们只要计算每一个二次函数所对应的(\Delta)（即(b2 - 4ac)）。先写出(a)、(b)、(c)的值，(a)是二次项系数，(b)是一次项系数，(c)是常数项。
第一小题，因为(a = 1)，(b = -2)，(c = 0)，所以(\Delta = b2 - 4ac = (-2)2 - 4×1×0 = 4\gt0)，所以函数图像与(x)轴有两个交点。
第二小题，因为(a = 1)，(b = -2)，(c = 1)，所以(\Delta = b2 - 4ac = (-2)2 - 4×1×1 = 0)，所以函数图像与(x)轴只有一个交点。
第三小题，因为(a = 1)，(b = -2)，(c = 2)，所以(\Delta = b2 - 4ac = (-2)2 - 4×1×2 = -4\lt0)，所以函数图像与(x)轴没有交点。
我们小结一下：抛物线(y = ax2 + bx + c)（(a≠0)）与(x)轴交点有三种情况，对应的一元二次方程(ax2 + bx + c = 0)（(a≠0)）的根也有三种情况。当抛物线与(x)轴有两个交点时，对应的一元二次方程有两个不相等的实数根；当抛物线与(x)轴只有一个交点时，对应的方程有两个相等的实数根；当抛物线与(x)轴没有交点时，对应的一元二次方程没有实数根。反之，一元二次方程(ax2 + bx + c = 0)的根的三种情况，也对应着抛物线与(x)轴交点的三种情况。当一元二次方程(ax2 + bx + c = 0)有两个不相等的实数根时，对应的抛物线(y = ax2 + bx + c)与(x)轴有两个交点；当方程有两个相等的实数根时，对应的抛物线与(x)轴只有一个交点；当方程没有实数根时，对应的抛物线与(x)轴没有交点。
接下来让我们学以致用。请看问题一，已知二次函数(y = ax2 + bx + c)（(a≠0)）的部分图像如图所示。
第一问，方程(ax2 + bx + c = 0)的根是多少？
第二问，方程(ax2 + bx + c = 1)的根的情况是怎样的？
第三问，方程(ax2 + bx + c = k)没有实数根，则(k)的取值范围是多少？
大家能通过观察图像解决以上三个问题吗？
先看第一问，方程(ax2 + bx + c = 0)的根是多少？已知给出了二次函数的部分图像，我们知道(ax2 + bx + c = 0)的根，从函数图像角度来看，就是求抛物线(y = ax2 + bx + c)与(x)轴交点的横坐标。观察图像，抛物线与(x)轴应该有两个交点，但只给出了一个交点坐标是((3,0))。我们可以将函数图像补充完整，那另一个交点是多少呢？图中给出了抛物线的对称轴是直线(x = 1)。由二次函数的对称性可以得到抛物线与(x)轴另一个交点应该是(( -1,0))，故(ax2 + bx + c = 0)的根是(x_1 = -1)，(x_2 = 3)，大家做对了吗？