师：亲爱的同学，你好！很高兴能和大家一起分享今天的数学课堂。上课前，请准备好上海科学技术出版社九年级上册的数学课本，以及本节课配套的学习任务单和学习用品。现在，让我们开始学习。
我们已经了解了二次函数(y=a(x + h)^2 + k)的图像与性质。比如，抛物线(y=(x - 1)^2 - 4)的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减情况和最值情况分别是怎样的呢？运用上节课的结论，不难得出：抛物线(y=(x - 1)^2 - 4)开口向上，顶点坐标为((1, - 4))，对称轴为直线(x = 1)。当(x < 1)时，(y)随(x)的增大而减小；当(x > 1)时，(y)随(x)的增大而增大。当(x = 1)时，函数值取得最小值为(-4)。
那么，抛物线(y = x^2 - 2x - 3)的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减情况和最值情况又是怎样的呢？大家有什么方法能得出它的这些性质？
第一种方法，通过列表、描点和连线，在平面直角坐标系中画出该抛物线，通过观察图像得出性质。如果不画图，还有其他方法吗？
生：可以用配方法，将函数解析式转化为顶点式。
师：非常好！我们还可以用第二种方法，通过对函数解析式进行配方。抛物线(y = x^2 - 2x - 3 = (x - 1)^2 - 4)，转化成了顶点式。再根据顶点式的相关性质，可知其开口方向向上，顶点坐标为((1, - 4))，对称轴为直线(x = 1)。当(x < 1)时，(y)随(x)的增大而减小；当(x > 1)时，(y)随(x)的增大而增大。当(x = 1)时，函数取得最小值为(-4)。
同学们，这两种方法都能得出(y = x^2 - 2x - 3)的性质。根据以上经验，我们一起探究抛物线(y = -2x^2 - 8x - 7)的开口方向、顶点坐标、对称轴、增减情况和最值情况是怎样的呢？大家准备用什么方法解决？
如果用画图的方法，通过列表、描点和连线在平面直角坐标系中画出该抛物线，观察图像可得出性质。但这种方法操作较多，相对复杂。我们可以像刚才一样，对函数解析式进行配方。
(y = -2x^2 - 8x - 7 = -2(x^2 + 4x) - 7 = -2(x^2 + 4x + 2^2 - 2^2) - 7 = -2[(x^2 + 4x + 2^2) - 4] - 7 = -2(x + 2)^2 + 1)。
再根据顶点式的相关性质，可知函数(y = -2x^2 - 8x - 7)的图像是一条开口向下的抛物线，顶点坐标是(( -2, 1))，对称轴是直线(x = -2)。当(x < -2)时，(y)随(x)的增大而增大；当(x > -2)时，(y)随(x)的增大而减小。当(x = -2)时，函数值取得最大值为(1)。
同学们，这种配方法可以得出抛物线(y = x^2 - 2x - 3)和(y = -2x^2 - 8x - 7)的性质。那么对于其他二次函数的一般形式，也能用这种方法得出函数的相关性质吗？请大家认真思考，做以下练习：用配方法把下列函数的表达式化成(y = a(x + h)^2 + k)的形式，并指出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴。
（1）配方得(y = 2(x + 2)^2 - 3)，所以该抛物线开口向上，顶点坐标为(( -2, - 3))，对称轴为直线(x = -2)。
（2）配方得(y = \frac{1}{3}(x + 3)^2 - 4)，所以该抛物线开口向上，顶点坐标为(( -3, - 4))，对称轴为直线(x = -3)。
这些一般形式下的二次函数图像和性质，都可以通过配方比较高效地解决。那么，请同学们进一步思考，所有二次函数的图像与性质都可以通过配方法来解决吗？所有二次函数的一般形式是什么？
生：(y = ax^2 + bx + c)，(a \neq 0)。
师：很好。那么它的图像特点是怎样的呢？从中可以看出函数有哪些性质呢？如果将这个函数表达式进行配方：
[
\begin{align*}
y&=ax^2 + bx + c\
&=a(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a})\
&=a(x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a})\
&=a[(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a} - \frac{b^2}{4a^2}]\
&=a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}
\end{align*}
]
有了所有二次函数一般形式的配方结果，那么(y = ax^2 + bx + c)，(a \neq 0)的图像特点和函数性质如下：
开口方向：当(a > 0)时，开口向上；当(a < 0)时，开口向下。
顶点坐标：((-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}))。
对称轴：直线(x = -\frac{b}{2a})。
和以往研究二次函数的性质与图像一样，接下来我们共同整理归纳一下二次函数(y = ax^2 + bx + c)的图像与性质。
先分成两大类，(a > 0)和(a < 0)。
开口方向：当(a > 0)时开口向上，当(a < 0)时开口向下。
开口大小：(\vert a\vert)越大，抛物线开口越小；(\vert a\vert)越小，抛物线开口越大。
顶点坐标：((-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}))。
对称轴：直线(x = -\frac{b}{2a})。
增减性：当(a > 0)时，在对称轴左侧，即(x < -\frac{b}{2a})时，(y)随(x)的增大而减小；在对称轴右侧，即(x > -\frac{b}{2a})时，(y)随(x)的增大而增大。当(a < 0)时，在对称轴左侧，即(x < -\frac{b}{2a})时，(y)随(x)的增大而增大；在对称轴右侧，即(x > -\frac{b}{2a})时，(y)随(x)的增大而减小。
最值：当(a > 0)时，(x = -\frac{b}{2a})时，函数值取得最小值(\frac{4ac - b^2}{4a})；当(a < 0)时，(x = -\frac{b}{2a})时，函数值取得最大值(\frac{4ac - b^2}{4a})。
接下来，请同学们认真思考，结合今天所学，完成以下填空：
抛物线(y = 3x^2 - 5x)的最低点坐标是多少呢？它可以由抛物线(y = 3x^2)向什么方向平移多少个单位，再向什么方向平移多少个单位得到？当(x)怎样时，函数(y)随(x)的增大而减小？当(x)怎样时，(y)随(x)的增大而增大？当(x)等于多少时，函数值取得最大还是最小值？最值又是多少呢？
生：抛物线(y = 3x^2 - 5x)可配成顶点式(y = 3(x - \frac{5}{6})^2 - \frac{25}{12})，最低点坐标是((\frac{5}{6}, -\frac{25}{12}))。它可以由抛物线(y = 3x^2)向右平移(\frac{5}{6})个单位，再向下平移(\frac{25}{12})个单位得到。当(x < \frac{5}{6})时，函数值(y)随(x)的增大而减小；当(x > \frac{5}{6})时，函数值(y)随(x)的增大而增大。当(x = \frac{5}{6})时，函数值取得最小值，最小值为(-\frac{25}{12})。
师：很好。再看这道题，如果抛物线(y = 2x^2 + bx + c)顶点坐标为((1, - 2))，那么(b)和(c)分别是多少呢？
生：先对抛物线进行配方，(y = 2(x + \frac{b}{4})^2 - \frac{b^2}{8} + c)。根据已知条件可得(-\frac{b}{4} = 1)，(-\frac{b^2}{8} + c = -2)。解得(b = -4)，(c = 0)。
师：非常棒！我们来看这道综合题。已知(y = ax^2 + bx + c)图像如图所示，则下列结论：
(abc > 0)；
(2a - b = 0)；
(a + b + c < 0)；
(a - b + c > 0)；
((a + c)^2 < b^2)；
(3a + c > 0)；
(m(ma + b) + b < a)（(m \neq -1)）。
请把正确结论的序号填写在横线上。
从图像可知，开口向下，所以(a < 0)。又因为对称轴为(-\frac{b}{2a} = -1)，可得(b = 2a)，那么(b < 0)。当(x = 0)时，函数值等于(c)，由图像与(y)轴交点可知(c > 0)。所以(abc > 0)，结论1正确。
对于(2a = b)，移项可得(2a - b = 0)，结论2正确。
观察(a + b + c)，当(x = 1)时，函数值(y = a + b + c)，此时对应点在(x)轴下方，所以(a + b + c < 0)，结论3正确。
同理，当(x = -1)时，函数值(y = a - b + c)，对应点在(x)轴上方，所以(a - b + c > 0)，结论4正确。
对((a + c)^2 < b^2)进行因式分解，左边可转化为((a + b + c)(a - b + c))，结合结论3和4，可知((a + b + c)(a - b + c) < 0)，结论5正确。
由(a + b + c < 0)，把(b = 2a)代入可得(3a + c < 0)，结论6错误。
对(m(ma + b) + b < a)进行整理，得(am^2 + bm < a - b)。两边同时加上(c)，不等式左边为当(x = m)时的函数值，右边可看成当(x = -1)时的函数值。由图像可知，该二次函数在(x = -1)时取得最大值，当(x = m)（(m \neq -1)）时，函数值小于最大值(a - b + c)，所以结论7正确。
综上，正确的结论是1、2、3、4、5、7。
接下来，我们一起回顾一下今天所学的知识。二次函数(y = ax^2 + bx + c)的图像与性质，分成(a > 0)和(a < 0)两大类。
开口方向：(a > 0)时开口向上，(a < 0)时开口向下。
开口大小：(\vert a\vert)越大，开口越小；(\vert a\vert)越小，开口越大。
顶点坐标：((-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}))。
对称轴：直线(x = -\frac{b}{2a})。
增减性：(a > 0)时，对称轴左侧(y)随(x)增大而减小，右侧(y)随(x)增大而增大；(a < 0)时，对称轴左侧(y)随(x)增大而增大，右侧(y)随(x)增大而减小。
最值：(a > 0)时，(x = -\frac{b}{2a})取最小值(\frac{4ac - b^2}{4a})；(a < 0)时，(x = -\frac{b}{2a})取最大值(\frac{4ac - b^2}{4a})。
目前，我们能根据二次函数(y = ax^2 + bx + c)的解析式明确它的图像与性质。那么反过来，根据抛物线的图像与性质，能否推导出二次函数的解析式呢？下节课我们将一起探究，请同学们做好预习。
这是本节课的作业，必做题帮助大家夯实基础，巩固新知；选做题帮助大家提升思维。好了，本节课就到这里，很高兴与大家相遇，期待下次再见！