师：亲爱的同学，你好！很高兴能和你一起分享今天的数学课堂。上课前，请准备好上海科学技术出版社九年级上册数学课本、本节课配套的学习任务单及学习用品。现在，我们开始今天的学习。
之前，我们已经探讨了二次函数(y = ax2)与(y = ax2 + k)、(y = ax2)与(y = a(x + h)2)图像之间的联系。还记得如何由抛物线(y = ax2)得到抛物线(y = ax2 + k)吗？抛物线(y = ax2 + k)是由抛物线(y = ax2)向上或向下平移(\vert k \vert)个单位得到的。
那又该如何由抛物线(y = ax2)得到抛物线(y = a(x + h)2)呢？抛物线(y = a(x + h)2)是由抛物线(y = ax2)向左或向右平移(\vert h \vert)个单位得到的。
大家能猜想如何由抛物线(y = ax2)得到抛物线(y = a(x + h)2 + k)吗？它可能是由抛物线(y = ax2)通过上下和左右平移得到的。
根据以往经验，研究一般情况通常从特例入手。思考一下，如何由抛物线(y = \frac{1}{2}x2)得到抛物线(y = \frac{1}{2}(x - 2)2 + 1)呢？
我们先在同一坐标系中，按照列表、描点、连线的步骤画出函数图像。首先，列表计算出(y = \frac{1}{2}x2)的各组函数值，依次在平面直角坐标系中描绘出各点，再用平滑曲线连接起来，这样就得到(y = \frac{1}{2}x2)的图像，它是一条抛物线。
用同样方法，列表计算出函数(y = \frac{1}{2}(x - 2)2 + 1)的各组函数值，依次在平面直角坐标系中描绘出各点，再用平滑曲线连接起来，得到函数(y = \frac{1}{2}(x - 2)2 + 1)的图像，同样是一条抛物线。
对于这两条抛物线，我们可以通过分步平移。第一种平移方法：由抛物线(y = \frac{1}{2}x2)先向右平移两个单位，得到抛物线(y = \frac{1}{2}(x - 2)2)，再向上平移一个单位，得到抛物线(y = \frac{1}{2}(x - 2)2 + 1)。
第二种平移方法：由抛物线(y = \frac{1}{2}x2)先向上平移一个单位，得到(y = \frac{1}{2}x2 + 1)，再向右平移两个单位，得到(y = \frac{1}{2}(x - 2)2 + 1)。
接下来，继续探究如何由抛物线(y = -\frac{1}{2}x2)得到抛物线(y = -\frac{1}{2}(x + 2)2 - 1)。
结合刚才思路，第一种平移方法：由抛物线(y = -\frac{1}{2}x2)先向左平移两个单位，得到抛物线(y = -\frac{1}{2}(x + 2)2)，再向下平移一个单位，得到抛物线(y = -\frac{1}{2}(x + 2)2 - 1)。
第二种平移方法：由抛物线(y = -\frac{1}{2}x2)先向下平移一个单位，得到(y = -\frac{1}{2}x2 - 1)，再向左平移两个单位，得到(y = -\frac{1}{2}(x + 2)2 - 1)。
我们可以在同一坐标系中画出抛物线(y = -\frac{1}{2}x2)和抛物线(y = -\frac{1}{2}(x + 2)2 - 1)的图像进行验证。
下面，我们一起来总结抛物线(y = ax2)和(y = a(x + h)2 + k)有什么关系，平移的方向和距离由什么决定。
第一种平移方法：由抛物线(y = ax2)先左右平移(\vert h \vert)个单位，得到(y = a(x + h)2)。其中，当(h > 0)时向左平移，当(h < 0)时向右平移。再上下平移(\vert k \vert)个单位，得到抛物线(y = a(x + h)2 + k)。其中，当(k > 0)时向上平移，当(k < 0)时向下平移。
第二种平移方法：由抛物线(y = ax2)先上下平移(\vert k \vert)个单位，得到(y = ax2 + k)。当(k > 0)时向上平移，当(k < 0)时向下平移。再左右平移(\vert h \vert)个单位，得到(y = a(x + h)2 + k)。其中，当(h > 0)时向左平移，当(h < 0)时向右平移。
要强调的是，平移的方向和距离由(h)、(k)的值决定。
类比之前研究二次函数(y = ax2 + k)和二次函数(y = a(x + h)2)性质的方法，我们明确了二次函数(y = a(x + h)2 + k)的图像。
同学们思考一下，二次函数(y = a(x + h)2 + k)有哪些性质呢？我们先分类，(a > 0)和(a < 0)。
在(a > 0)的情况下，(h)和(k)的情况又可分为：(h > 0)、(k > 0)；(h > 0)、(k < 0)；(h < 0)、(k > 0)；(h < 0)、(k < 0)。在(h > 0)、(k > 0)这种情况下，图像大致是这样的。同样，我们可以梳理出接下来几种情况的图像。
在(a < 0)的情况下，也可以梳理出同样的四种类型。对照图像，我们很容易梳理出函数的性质。
开口方向方面，(a > 0)时开口向上，(a < 0)时开口向下。开口大小方面，(\vert a \vert)越大，抛物线开口越小；(\vert a \vert)越小，抛物线开口越大。
顶点坐标方面，都是(( - h, k))。但当(a > 0)时，顶点是最低点；当(a < 0)时，顶点是最高点。因为这种形式能直接确定顶点坐标，所以我们把它叫做二次函数的顶点式。
对称轴方面，都是直线(x = - h)。
增减性方面，当(a > 0)时，在对称轴左侧，即(x < - h)时，(y)随(x)的增大而减小；在对称轴右侧，即(x > - h)时，(y)随(x)的增大而增大。当(a < 0)时，在对称轴左侧，即(x < - h)时，(y)随(x)的增大而增大；在对称轴右侧，即(x > - h)时，(y)随(x)的增大而减小。
最值方面，当(a > 0)时，(x = - h)时，函数值取得最小值为(k)；当(a < 0)时，(x = - h)时，函数值取得最大值为(k)。
接下来，请同学们结合今天所学，完成以下表格。
对于二次函数(y = 2(x + 3)2 + 5)，根据今天总结的结论，可以直接得出它的开口方向向上，对称轴是直线(x = - 3)，顶点坐标为(( - 3, 5))。
二次函数(y = - 3(x - 1)2 - 2)的开口向下，对称轴是直线(x = 1)，顶点坐标为((1, - 2))。
二次函数(y = 4(x - 3)2 + 7)的开口向上，对称轴是直线(x = 3)，顶点坐标为((3, 7))。
二次函数(y = - 5(2 - x)2 - 6)，先将其变形为(y = - 5(x - 2)2 - 6)，其开口向下，对称轴是直线(x = 2)，顶点坐标为((2, - 6))。
在平面直角坐标系上，将二次函数(y = - 2(x - 1)2 - 2)的图像向左平移一个单位，再向上平移一个单位。先根据平移规律得到抛物线(y = - 2x2 - 1)，进而确定其顶点为((0, - 1))。
刚才是由原函数通过平移得到新函数，接下来体验一下逆向思维。
变式一：将一条抛物线向右平移一个单位，再向上平移三个单位，所得抛物线对应的函数解析式为(y = 2x2)，那么原抛物线对应的函数表达式是多少呢？根据逆向思维，不难得到结果是(y = 2(x + 1)2 - 3)。
再来思考一下变式二：在平面直角坐标系中，如果抛物线(y = 2x2)不动，而坐标轴向上、向右平移两个单位，那么新坐标系下该抛物线的表达式是多少呢？因为坐标系的变化与抛物线的平移恰恰相反，所以不难得到结果是(y = 2(x + 2)2 - 2)。
下面，我们一起来回顾今天所学内容。二次函数(y = a(x + h)2 + k)的图像与性质，这种形式的二次函数解析式我们称作顶点式。根据顶点式，能很快确定它的图像示意图，总共两大类 8 个小情况。它的开口方向由(a)的正负决定，开口大小由(\vert a \vert)决定。从顶点式中，可以直接确定顶点坐标和对称轴。
在增减性方面，当(a > 0)时，在对称轴左侧，即(x < - h)时，(y)随(x)的增大而减小；在对称轴右侧，即(x > - h)时，(y)随(x)的增大而增大。当(a < 0)时，在对称轴左侧，即(x < - h)时，(y)随(x)的增大而增大；在对称轴右侧，即(x > - h)时，(y)随(x)的增大而减小。
关于(y = a(x + h)2 + k)的最值，当(a > 0)时，(x = - h)时函数取得最小值为(k)；当(a < 0)时，(x = - h)时函数值取得最大值为(k)。
同学们再思考，今天我们根据二次函数的顶点式(y = a(x + h)2 + k)，能很快确定二次函数的图像与性质。那么二次函数还有什么性质呢？对，还有它的一般形式。二次函数的一般形式(y = ax2 + bx + c)，它的图像和性质又是怎样的呢？下节课我们将一起探究。
这是本节课老师留给大家的作业。必做题，帮大家夯实基础，巩固新知。尤其是第二题，需要结合自变量的取值范围，确定对应的函数图像，再根据函数图像的最高点确定函数的最大值。
选做题，帮助提升思维。尤其是第二小题，已知点(M)为(y)轴上的一个动点，当(\triangle ABM)为等腰三角形时，求点(M)的坐标。这里可能有多种情形，等腰三角形(\triangle ABM)中，(AB)可能等于(BM)，(AB)可能等于(AM)，(AM)可能等于(BM)，总共有三种情形。需要根据这三种情形分别画出图形，在图形基础上求出各自符合题目要求的(M)点坐标。
本节课就学到这里，很高兴与大家相遇，期待下次再见。