师：同学们好，上课前请准备好上海科学技术出版社九年级上册的数学课本、本节课配套的学习任务单及学习用品。现在，我们继续学习二次函数的图像与性质。还记得抛物线(y = x2)怎样平移能得到抛物线(y = x2 + 1)吗？
生：沿(y)轴向上平移一个单位。
师：非常正确。一般化之后，抛物线(y = ax2)与抛物线(y = ax2 + k)有何关系呢？
生：二次函数(y = ax2 + k)的图像可以由(y = ax2)的图像沿(y)轴平移(\vert k \vert)个单位得到。当(k＞0)时向上平移，当(k＜0)时向下平移。
师：很好，类比一次函数从特殊到一般的研究思路，我们从最简单的二次函数(y = x2)开始，掌握了其图像特征和性质，之后加了常数项，掌握了(y = x2 + 1)的图像特征。如果一次项系数和常数项都不为(0)，比如(y = x2 + 2x + 1)，这个函数的图像会是怎样的呢？又具有什么样的性质呢？让我们一起走进今天的课堂。大家试一试，能画出(y = x2 + 2x + 1)的函数图像吗？这个问题有点难度，不过(x2 + 2x + 1)是我们熟悉的代数式，它可以利用完全平方公式变形为((x + 1)2)。所以，我们要画的图像就是(y = (x + 1)2)的图像。接下来，请暂停一下，在学习任务单的方格纸或课本第(14)页完成函数的表格和图像。填写表格之后，大家有没有发现最小值发生了变化？
生：函数在(x = -1)时取得了最小值(0)，(x)取(-2)和(0)的时候，函数值相同，(x)取(-3)和(1)时函数值也相同。
师：聪明的你请猜测一下，函数的图像会发生怎样的改变？请看(y = (x + 1)2)的图像，和你预想的一样吗？说一说此时函数(y = (x + 1)2)的图像，开口方向如何？顶点坐标、对称轴、升降趋势又是怎样的呢？
生：图像开口方向向上，顶点坐标是(( -1,0))，是最低点，对称轴是直线(x = -1)，图像在对称轴左侧下降，在对称轴右侧上升。
师：在此基础上，函数(y = (x + 1)2)的性质有哪些？根据之前的学习经验，大家来总结一下。
生：从最值来看，当(x = -1)时，函数(y)取得最小值(0)，也就说明(y\geq0)。从增减性角度来看，当(x＜ -1)时，函数(y)随(x)的增大而减小；当(x＞ -1)时，函数(y)随(x)的增大而增大。
师：直观感受上，对称轴的改变带来了什么呢？
生：两个点关于直线(x = -1)对称，也就是说，当(x)取(-1 + m)和(-1 - m)时，函数值相同。
师：函数(y = (x + 1)2)与函数(y = x2)的图像有什么联系吗？
生：抛物线(y = x2)沿(x)轴向左平移一个单位，可以得到抛物线(y = (x + 1)2)的图像。
师：我们通过表格来分析一下。当函数值相同时，(y = (x + 1)2)的自变量比(y = x2)的自变量小(1)。举个例子，当(y = 0)时，(y = (x + 1)2)中(x = -1)，(y = x2)中(x = 0)。绘制成点即为(( -1,0))和((0,0))两个点，((0,0))沿(x)轴向左平移一个单位，就得到了(( -1,0))。类似的，每个点都向左平移一个单位，抛物线(y = x2)沿(x)轴整体向左平移一个单位，就可以得到抛物线(y = (x + 1)2)。接下来，请同学们独立探究一下函数(y = (x - 1)2)的情况。先暂停一下，在同一个平面直角坐标系中画出函数(y = (x - 1)2)的图像，看看和老师画的一样吗？
生：通过表格、描点、连线，我们得到了(y = (x - 1)2)的图像。填写表格时发现，此时函数在(x = 1)的时候取得了最小值(0)，当(x)取(0)和(2)，(-1)和(3)的时候，函数值相同。也就是说，此时抛物线的对称性再次发生了改变。
师：那么，请说一说函数(y = (x - 1)2)的图像特点。
生：图像开口方向向上，顶点坐标是((1,0))，是最低点，对称轴变为了直线(x = 1)，图像在对称轴左侧下降，在对称轴右侧上升。
师：结合这样的图像特点，(y = (x - 1)2)的函数性质是什么呢？
生：从最值角度来看，当(x = 1)时，函数(y)取最小值(0)。除顶点外，图像在(x)轴上方，所以(y\geq0)。从增减性角度来看，当(x＜1)时，函数(y)随(x)的增大而减小；当(x＞1)时，函数(y)随(x)的增大而增大。
师：对称轴的改变带来了什么呢？
生：两个点关于直线(x = 1)对称，即(x)取(1 + m)和(1 - m)时，函数值相同。
师：结合前面的图像，函数(y = (x - 1)2)与函数(y = x2)的图像有什么联系呢？与函数(y = (x + 1)2)的图像又有什么联系呢？
生：抛物线(y = x2)沿(x)轴向右平移一个单位，可以得到(y = (x - 1)2)的图像；(y = (x + 1)2)沿(x)轴向右平移两个单位，可以得到抛物线(y = (x - 1)2)。也就是说，此时函数解析式的改变带来的是图像沿(x)轴左右平移。
师：我们具体分析一下，对于这三个函数，如果令函数值都是(a2)，那么(y = (x + 1)2)的自变量此时取(a - 1)，(y = x2)的自变量取(a)，(y = (x - 1)2)的自变量取(a + 1)。也就是说，对应的三个点，((a,a2))沿(x)轴向左平移一个单位可以得到((a - 1,a2))，沿(x)轴向右平移一个单位，可以得到((a + 1,a2))。由这样平移的点，我们就可以得到抛物线(y = x2)沿(x)轴向右平移一个单位，得到了抛物线(y = (x - 1)2)，而(y = x2)向左平移一个单位就得到了(y = (x + 1)2)。我们可以从特殊的每一个点概括到一般用字母表示的点来解释此时平移的规律。再来看一看(a＜0)的情况，请类比刚刚的分析过程。暂停一下，在同一个平面直角坐标系中画出函数(y = -\frac{1}{3}x2)、(y = -\frac{1}{3}(x + 2)2)、(y = -\frac{1}{3}(x - 2)2)的图像，完成课本第(16)页练习中的第一和第(2)题。首先来看表格，此时函数取得的最大值是(0)，但是取得(0)所对应的自变量发生了改变。对于(y = -\frac{1}{3}x2)来说，(x = 0)时，函数取得最大值(0)，(x)取(1)和(-1)时函数值相同，(x)取(2)和(-2)时函数值相同。这也是前面说过的(y = ax2)，当(a＜0)时函数图像的特点。对于(y = -\frac{1}{3}(x + 2)2)来说，(x = -2)时，函数取得最大值，(x)取(-1)和(-3)时，函数值相同。对于(y = -\frac{1}{3}(x - 2)2)来说，(x = 2)时，函数取得最大值(0)，而(x)取(1)和(3)时，函数值对应相同。
生：通过这个表格，可以看到函数的顶点和对称轴再次发生了改变。
师：请看图像，老师画的图像和你画的一样吗？请注意，你取的点可能跟老师的有所不同，但要注意计算正确。结合刚刚的分析，我们来总结一下函数的性质。
生：三个函数开口都向下，顶点都是最高点。对于(y = -\frac{1}{3}x2)，顶点是原点，对称轴是(y)轴；对于(y = -\frac{1}{3}(x + 2)2)，顶点是(( -2,0))，对称轴是直线(x = -2)；对于函数(y = -\frac{1}{3}(x - 2)2)，顶点是((2,0))，对称轴是直线(x = 2)。
师：大家可以根据这些内容来填写课本上的练习。那么请问函数(y = -\frac{1}{3}x2)、(y = -\frac{1}{3}(x + 2)2)、(y = -\frac{1}{3}(x - 2)2)这三条函数的抛物线之间有什么联系吗？
生：类比上面的分析，函数(y = -\frac{1}{3}x2)沿(x)轴向左平移两个单位，可以得到(y = -\frac{1}{3}(x + 2)2)；(y = -\frac{1}{3}x2)沿(x)轴向右平移两个单位，可以得到(y = -\frac{1}{3}(x - 2)2)。
师：与前面的问题一起总结一下，观察解析式的变化与抛物线的平移规律，你有什么发现吗？对应(y = a(x + h)2)，当(h)变为(1)和(2)的时候，抛物线都沿(x)轴向左平移一个和两个单位；当(h)为(-1)和(-2)时，抛物线沿(x)轴向右平移了一和两个单位。一般化来说，你能总结一下吗？
生：(h)为负数时，沿(x)轴向左平移；(h)为正数时，沿(x)轴向右平移，平移的距离是由(\vert h \vert)决定的。
师：非常好。得到这样的规律之后，我们就可以将二次函数(y = a(x + h)2)图像与(y = ax2)的图像关系进行总结，也就是说，抛物线(y = a(x + h)2)可以由抛物线(y = ax2)沿(x)轴方向平移(\vert h \vert)个单位得到。当(h＞0)时向左平移，当(h＜0)时向右平移。也可以总结为，(h)的正负决定了平移方向，此时是沿(x)轴平移，(\vert h \vert)决定了平移的距离。接下来请看几何画板的演示。同学们请看，此时我们的二次项系数定为(1)，那么(h = 0)时，函数解析式就是我们熟悉的(y = x2)这条抛物线。当(h)开始变化，逐渐变大，函数图像向左平移。好，还原一下，(y = ax2)，当(h)逐渐变小变为负数时，可以看到图像是向右平移的，也依然符合我们刚刚的规律。利用几何画板验证了我们刚刚的结论后，我们用它来解决接下来的问题。两个小练习巩固一下刚刚所学知识。我们将二次函数(y = -2x2)的图像平移后，可以得到二次函数(y = -2(x + 1)2)的图像，那么它是如何平移的呢？