师：各位同学大家好，欢迎来到初中数学人教版九年级上册第二十四章圆小结第一课时。教材第121页呈现了本章知识结构图，每单元结束时教材都会给出这样的图。建议大家在平时学习中结合单元知识结构图复习基础内容。本节课，我们从以下5个方面复习圆的重要内容：圆的两个相关概念、圆的四个重要性质、圆的两个位置关系、圆的一个判定以及两个计算公式。
首先，在平面内，线段绕着它的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，这是圆的形成性概念。圆还可理解为所有到定点的距离等于定长的点的集合，即圆的集合性概念。由此可知，圆是圆周，并非圆面。
本单元中有许多与圆相关的概念，大家务必清晰掌握。直径属于弦，且是圆中最长的弦。等弧是能够完全重合的弧，并非仅长度相等的弧。比如，一大一小两个圆中，两段长度相等的弧无法重合，所以长度相等的弧不一定是等弧，等弧只出现在同圆或等圆中。下面请大家仔细读题、认真思考，完成判断。
弦是圆上任意两点所连的线段，所以直径是弦，但弦不一定是直径。如图中的线段AB，它是弦，却不是直径，因此第一题错误。题2中，过圆心的线段，必须两个端点都在圆上才能成为直径。如图中的线段CD，它过圆心，但不是直径，所以第二题也错误。第三题，直径是最长的弦，正确。而弧除了长度，还有弯曲的弧度，所以长度相等的弧不一定能重合，第四题错误。接下来，我们复习圆的四个重要性质。
圆既是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；也是中心对称图形，对称中心是圆心。基于圆是轴对称图形，我们探究出圆的第一个重要性质——垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。由图中CD垂直弦AB，且CD是圆O的直径这两个条件，可直接得出三个结论：一是AE = BE，即弦AB被直径CD平分；二是弧AC = 弧BC，即弦AB所对的优弧被平分；三是弧AD = 弧BD，即弦AB所对的劣弧被平分。结合轴对称或全等知识，在垂直弦、过圆心、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧这五个条件中，只要已知两个，就能推出另外三个结论，我们各取一个字，形象记作“垂过分”。垂直弦，如CD垂直AB；过圆心，如CD是直径；分平分弦，如AE = BE；分平分弦所对的优弧，如弧AC = 弧BC；分平分弦所对的劣弧，如弧AD = 弧BD。不过，当已知过圆心和平分弦（即二三这两个条件）时，若被平分的弦是直径，就无法得出直径和被平分的弦垂直，或弦所对的两段弧被平分的其他三个结论。所以，在描述垂径定理的推论“平分弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧”时，一定要对这条被平分的弦加上限制条件——不是直径，否则就是假命题。大家能做到知二推三吗？下面请仔细读题、认真思考，完成判断。
通过读题可知，这里考查的是垂径定理及其推论，我们要迅速想到“垂过分”，在这五个条件中知二即可推三。但要注意，已知过圆心和平分弦为条件时，被平分的这条弦一定不能是直径。所以第一题，没有强调被平分的弦不能是直径，会出现如图的情况，无法得出垂直或平分弧的结论；第二题，只知平分弦，虽对这条被平分的弦加上了不是直径的限制条件，但仅满足“垂过分”五个条件中的一个，不符合知二推三，也会出现如图的情况。因此，这两道题都错误。
圆的第二个重要性质是圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，等于它所对圆心角的一半。如图，∠ADB和∠ACB都是圆周角，顺着角的两边找到它们所对的弧都是弧AB，且这段弧还对着圆心角∠AOB。根据圆周角定理，因为弧AB = 弧AB，所以它所对的圆周角∠ADB = ∠ACB，且等于它所对圆心角∠AOB的一半。当弧AB成为半圆时，弧AB所对的圆心角是平角180°，那么弧AB所对的圆周角∠ACB = 180°÷2 = 90°。由此得出推论：直径或半圆所对的圆周角是直角；反之，90°的圆周角所对的弦是直径。下面请大家仔细读题、认真思考，完成填空。
已知BC为直径，大家能想到什么？对，直径所对的圆周角是直角，即∠BAC = 90°。又已知圆心角∠AOB = 70°，那么∠ACB是它同弧所对的圆周角，∠ACB = 70°÷2 = 35°。因为圆中半径相等，会出现等腰三角形，所以∠OCA = ∠OAC = 35°，再用互余关系可算出∠OAB = 90° - 35° = 55°。
圆的第三个重要性质是圆心角弧弦定理：由旋转可知，在同圆或等圆中，等圆心角对等弧对等弦，等弧对等圆心角对等弦，等弦对等圆心角对等弧。即如图，在∠AOB = ∠A′OB′、AB = A′B′、弧AB = 弧A′B′这三个条件中，只要有其中一个，就能得出另外两个结论。但要注意，必须在同圆或等圆的前提下。由于等弧只能出现在同圆或等圆中，所以当等弧作为条件时，无需重复强调。也就是说，除已知等弧外，其他条件作前提时，必须加上“在同圆或等圆中”。
如果我们作AB和A′B′这两条弦的弦心距，无论根据旋转、全等还是三角形面积知识，都可得出OD = OD′。若作弧AB和弧A′B′所对的圆周角，由圆周角定理可得它们也相等。所以总结发现，在同圆或等圆中，等圆心角、等弦、等弧、等弦心距、等圆周角这5个条件中，只要满足一个条件，就能推出另外4个结论。大家能做到知一推四吗？下面请仔细读题、认真思考，完成填空。
本题中OE、OF分别垂直弦AB、CD，说明它们都是弦心距，且OE = OF，即这两条弦心距相等。我们想到知一推四，可得到与弦心距垂直的两条弦AB = CD，然后等弦对等圆心角，所以∠AOB = ∠COD，进而等弧，弧AB = 弧CD。其实，再结合垂径定理和三角形知识，还能得出很多等量关系。这里我们根据题目要求写出一个正确结论即可。