师：亲爱的同学们，大家好！今天我们一起来学习初中数学人教版九年级上册第22章小结的第一课时。首先，我们来回顾一下二次函数的基本概念。一般地，我们把形如(y = ax^2 + bx + c)（(a)、(b)、(c)是常数，(a \neq 0)）的函数叫做二次函数。对于这个概念的理解，我们要注意以下几点：第一，等号右边必须是整式；第二，自变量的最高次数是二次；第三，当(b = 0)，(c = 0)时，(y = ax^2)是特殊的二次函数。
接下来，我们回顾二次函数图像平移的相关知识点。将(y = ax^2)沿(x)轴翻折，可以得到(y = -ax^2)，再经过左右平移（左加右减），得到(y = a(x \pm h)^2)。然后经过上下平移（上加下减），得到(y = a(x \pm h)^2 \pm k)。这样我们就得到了二次函数的一般形式(y = ax^2 + bx + c)。
现在，我们一起来复习二次函数的图像与性质。二次函数的形式有顶点式(y = a(x - h)^2 + k)和一般式(y = ax^2 + bx + c)。当(a > 0)时，抛物线开口向上；当(a < 0)时，抛物线开口向下。
对于顶点式，它的对称轴是(x = h)，顶点坐标是((h, k))。当(a > 0)时，(y)有最小值(k)；当(a < 0)时，(y)有最大值(k)。
对于一般式，它的对称轴是(x = -\frac{b}{2a})，顶点坐标是((-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}))。当(a > 0)时，(y)有最小值(\frac{4ac - b^2}{4a})；当(a < 0)时，(y)有最大值(\frac{4ac - b^2}{4a})。
我们再来回忆一下二次函数的单调性。当(a > 0)时，在对称轴左边，(y)随(x)的增大而减小；在对称轴右边，(y)随(x)的增大而增大。当(a < 0)时，在对称轴左边，(y)随(x)的增大而增大；在对称轴右边，(y)随(x)的增大而减小。
我们再来一起回顾二次函数表达式的三种求法：一是一般式法，(y = ax^2 + bx + c)（(a \neq 0)）；二是顶点式法，(y = a(x - h)^2 + k)（(a \neq 0)）；三是交点式法，(y = a(x - x_1)(x - x_2))（(a \neq 0)）。
现在，我们通过表格的形式来复习二次函数与一元二次方程的关系。如果函数(y = ax^2 + bx + c)的图像和(x)轴有两个交点，那么一元二次方程(ax^2 + bx + c = 0)就有两个相异的实数根，此时根的判别式(\Delta = b^2 - 4ac > 0)。如果二次函数的图像与(x)轴有两个重合的交点，那么一元二次方程(ax^2 + bx + c = 0)有两个相等的实数根，此时根的判别式(\Delta = b^2 - 4ac = 0)。如果二次函数的图像与(x)轴没有交点，那么一元二次方程(ax^2 + bx + c = 0)没有实数根，此时根的判别式(\Delta = b^2 - 4ac < 0)。
下面我们一起来复习相关考点。考点一：求抛物线的顶点、对称轴、最值。
我们来看例一：抛物线(y = x^2 - 2x + 3)的顶点坐标是多少？
我们可以通过配方法将其转化为顶点式，找到顶点坐标，也可以通过二次函数顶点坐标公式直接求得。
具体解答过程如下：
方法一：通过配方，(y = x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2)，根据顶点式可得顶点坐标为((1, 2))。
方法二：代入公式，(x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2\times1} = 1)，(y = \frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4\times1\times3 - (-2)^2}{4\times1} = 2)，所以顶点坐标为((1, 2))。
通过上题，我们总结解此类题目的方法：一是先把二次函数(y = ax^2 + bx + c)配方为顶点式(y = a(x - h)^2 + k)的形式，得到对称轴是直线(x = h)，最值为(y = k)，从而得到顶点坐标为((h, k))；二是直接利用公式进行求解。
针对训练一：对于(y = 2(x - 3)^2 + 2)的图像，下列叙述正确的是（ ）
A. 顶点坐标为(( - 3, 2))
B. 对称轴为(y = 3)
C. 当(x \geq 3)时，(y)随(x)的增大而增大
D. 当(x \geq 3)时，(y)随(x)的增大而减小
根据顶点式可知该二次函数顶点坐标为((3, 2))，所以A选项错误；对称轴为(x = 3)，B选项错误；因为(a = 2 > 0)，开口向上，当(x \geq 3)时，(y)随(x)的增大而增大，所以正确选项为C。
考点二：函数的图像与性质，即函数值的大小比较。
例：二次函数(y = -x^2 + bx + c)图像如图所示，若点(A(x_1, y_1))，点(B(x_2, y_2))在此函数图像上，且(x_1 < x_2 < 1)，则(y_1)与(y_2)的大小关系是？
此题考察二次函数的增减性。由图像可知，抛物线开口向下，对称轴是(x = 1)。所以当(x < 1)时，(y)随(x)的增大而增大。因为(x_1 < x_2 < 1)，所以(y_1 < y_2)，本题选B。
好，我们再来看针对训练2：下列函数中，当(x > 0)时，(y)随(x)的增大而减小的是（ ）。对于选项A、选项B、选项C这三个函数，当(x > 0)时，(y)都随着(x)值的增大而增大，所以本题选择D。
考点三：二次函数(y = ax^2 + bx + c)（(a \neq 0)）的图像与系数(a)、(b)、(c)的关系。
下面我们来看例3：已知二次函数(y = ax^2 + bx + c)函数图像如图所示，下列结论：
(abc > 0)
(2a - b < 0)
(4a - 2b + c < 0)
((a + c)^2 < b^2)
其中正确的个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
首先看(abc)的符号，通过“左同右异”可判定(ab)的符号，又因为函数图像交(y)轴正半轴，所以可判定(c)的符号为大于(0)。
对于(2a - b)的符号，可通过对称轴的位置判断。观察发现函数对称轴大于(-1)，即(-\frac{b}{2a} > -1)，由此可求得(2a - b)的符号。
对于(4a - 2b + c)的符号，可看成当(x = -2)时所对应的函数值，通过图像观察可知当(x = -2)时，函数值为负数。
对于((a + c)^2 < b^2)，可将(b^2)移到左边，得到((a + c)^2 - b^2)，利用平方差公式因式分解为((a + c + b)(a - b + c))，也就是判断((a + b + c)(a - b + c))的符号，同样可看成相应的函数值来求解。
具体分析解答过程：由图像开口向下可得(a < 0)，由对称轴在(y)轴左侧可得(b < 0)，由图像与(y)轴交于正半轴可得(c > 0)，则(abc > 0)，所以1正确。
由对称轴(x > -1)，可得(2a - b < 0)，2正确。
由图像上横坐标为(x = -2)的点在第三象限，可得(4a - 2b + c < 0)，3正确。
由图像上横坐标为(x = 1)的点在第四象限，得出(a + b + c < 0)；由图像上横坐标为(x = -1)的点在第二象限，得出(a - b + c > 0)，则((a + b + c)(a - b + c) < 0)，即((a + c)^2 - b^2 < 0)，移项可得((a + c)^2 < b^2)，4正确。所以本题选择D。
下面我们来看针对训练：已知二次函数(y = -x^2 + 2bx + c)，当(x > 1)时，(y)的值随(x)值的增大而减小，则实数(b)的取值范围是？
因为二次项系数为(-1 < 0)，抛物线开口向下，在对称轴右侧(y)随(x)的增大而减小。由题可知，当(x > 1)时，(y)随(x)的增大而减小，所以抛物线(y = -x^2 + 2bx + c)的对称轴应该在直线(x = 1)的左侧。而抛物线(y = -x^2 + 2bx + c)的对称轴为(x = -\frac{2b}{2\times(-1)} = b)，所以(b \leq 1)，本题选择D选项。
考点四：抛物线的几何变换。
例四：将抛物线(y = x^2 - 6x + 5)向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后得到的抛物线解析式是？
对于本题，我们首先应将一般式化为顶点式，然后通过“上加下减，左加右减”得到新的抛物线解析式。
具体解答过程：因为(y = x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 4)，向上平移两个单位，再向右平移一个单位，得到的解析式为(y = (x - 3 - 1)^2 - 4 + 2)，即(y = (x - 4)^2 - 2)。因此，本题选择B选项。
若抛物线(y = -7(x + 4)^2 - 1)平移得到(y = -7x^2)，则可能的平移方式是？
我们可以通过“上加下减、左加右减”来判断函数平移的方向。将(x + 4)变为(x)，需要向右平移(4)个单位；将(-1)变为(0)，需要向上平移(1)个单位。所以本题选择B，你做对了吗？
考点五：二次函数表达式的确定。
例5：已知关于(x)的二次函数，当(x = -1)时，函数值为(10)；当(x = 1)时，函数值为(4)；当(x = 2)时，函数值为(7)。求这个二次函数的解析式。
本题已知三个点的坐标，所以可以利用一般式来求解。
具体解答过程：设所求二次函数为(y = ax^2 + bx + c)。由题意得(\begin{cases}a - b + c = 10 \ a + b + c = 4 \ 4a + 2b + c = 7\end{cases})，通过解方程组可得(a = 2)，(b = -3)，(c = 5)。所以所求二次函数为(y = 2x^2 - 3x + 5)。此方法我们称为待定系数法。
针对训练5：已知抛物线(y = x^2 + bx + c)与抛物线(y = -x^2 - 3x + 7)的形状相同，顶点在直线(x = 1)上，且顶点到(x)轴的距离为(5)。请写出满足此条件的抛物线的解析式。
根据题目条件“形状相同”，可判定(a = 1)或者(-1)。再根据“顶点在直线(x = 1)上，且顶点到(x)轴的距离为(5)”，可写出此函数的顶点坐标，从而通过顶点式写出二次函数的解析式。
具体解答过程：因为抛物线(y = x^2 + bx + c)与抛物线(y = -x^2 - 3x + 7)形状相同，所以(a = 1)或(-1)。又因为顶点在直线(x = 1)上，且顶点到(x)轴的距离为(5)，所以顶点为((1, 5))或((1, -5))。
因此，表达式为：
(y = (x - 1)^2 + 5)
(y = (x - 1)^2 - 5)
(y = -(x - 1)^2 + 5)
(y = -(x - 1)^2 - 5)
你学会了吗？好，今天的主要课程就学到这里，同学们，再见。