师：各位同学大家好，欢迎来到初中数学人教版九年级上册第二十四章圆小结第二课时。上节课，我们从本章主要知识点层面复习了圆的两个相关概念、四个重要性质、两个位置关系、一个判定和两个计算公式。本节课，我们将从5个高频考点出发，以例题和练习的形式展开复习。请准备好纸笔。
首先，考点一：圆周角定理。请仔细读题，认真思考后填空。当读到“AD是圆O的直径”时，我们要想到直径所对的圆周角是直角，所以连接CD，就能得到∠ACD = 90°。再看第二个条件，∠B = 40°，它是圆周角，这个圆周角对着弧AC，而弧AC还对着∠D。根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，所以∠D也等于40°。这时在直角三角形ADC中，利用两锐角互余，就能得到∠DAC的度数，即∠DAC = 50°。请对照图形仔细观察解题过程。
总结一下，在本题中，我们主要考察了圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等；还考察了圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角；以及直角三角形两锐角互余这三个知识点。所以当我们读到直径这个条件时，要想到圆周角定理的推论，可能要构造出直径所对的圆周角。而当读到已知条件中某一个圆周角或圆心角的度数时，我们应该先找到这个角所对的弧，然后再找这段弧有没有对着别的圆周角或圆心角，利用圆周角定理进行转化。
虽然是圆中的问题，但三角形的相关知识也经常考察。接下来，请仔细读题，认真思考后填空。读到第一个条件，∠D是25°，发现它是圆周角，所以先找到它对的弧BC。弧BC有没有对着别的圆周角或圆心角呢？∠A是它对的圆周角，所以∠A也就是25°啦。这时读到第二个条件，EC为圆O的切线，切点为C，这就让我们确定要连接圆心和切点，也就是连接OC，就能得到∠OCE = 90°，而且圆心角∠COB的度数也出来了，等于它同弧所对圆周角的两倍，即50°。那么问题中∠E的度数就很容易得出，等于40°。请对照图形仔细观察完整的解答过程。
总结一下，本题主要考察了圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，同弧或等弧所对的圆心角是它所对圆周角的两倍；切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；以及直角三角形两锐角互余。不难发现，我们在读题时遇到已知的角度，而且这个角是圆周角或圆心角时，一定要先找弧再找角，这样就能实现角度的转化。而在有切线做条件时，连接切点和圆心是不二的选择。再者，三角形的相关知识在圆中是经常考察的。
接下来，考点二：垂径定理。请认真读题，仔细思考后填空。在本题中，我们发现了两个很重要的数据，一个是直径10毫米，一个是钢珠顶端离零件表面的距离为8毫米。对于直径10毫米我们相对熟悉，这里的8毫米具体指的是什么呢？我们怎么去把它画出来呢？请看图形，先设圆心为O，然后经过圆心作弦AB的垂线段，垂足为D，交圆O于C。大家可以看到，CD的长度就是钢珠顶端离零件表面AB的距离。再由直径为10，连接AO，不仅知道了它的长度为5，还构造出一个直角三角形。这样到目前为止，我们就得到了图中的这些结论。接下来在直角三角形中利用勾股定理可得AD的长度为4，那么结合垂径定理，AB的长度就是8了。请对照图形观看完整的解题过程。
总结一下，本题主要考察垂径定理和勾股定理的综合应用。所以在有半径或直径、弦或弦的一半、弦心距或拱高出现时，构造半径、弦的一半、弦心距所组成的直角三角形，就像图中的三角形AOD，利用勾股定理直接计算或者设未知数，利用勾股定理列方程计算，都是我们常用的方法。
接下来，请仔细读题，认真思考后填空。由扇形∠AOB = 90°以及OA = 2，我们不难得出图中的一些信息。如果连接AB，不就得到一个特殊的三角形了吗？对，等腰直角三角形，而且AB的长度也很容易得到。根据等腰直角三角形的斜边等于腰长的根号二倍，就可以得到AB的长度为二倍根号2。再看条件中OE垂直AC，OF垂直BC，我们发现这是过圆心的线段和弦垂直，所以想到垂径定理，就很容易得到E、F分别是AC、BC的中点。那么EF又是什么呢？对，中点连中点，是中位线。根据三角形的中位线定理，可以得到三角形的中位线平行且等于第三边的一半，所以EF的长度就是AB的一半，即根号2。请对照图形观看完整的解答过程。
总结一下，这题中主要考察了垂径定理、三角形中位线定理，还有等腰直角三角形的三边关系。我们发现三角形的知识在圆中的使用非常频繁，具体做题时不要忘记。
下面，我们来看考点3：与圆有关的位置关系。请仔细读题，认真思考后完成证明。本题中O为正方形对角线上一点，可得直角被平分，这里的两个角都是45°。再看圆O与BC相切于M点，当有切线这个条件时，我们想到连接圆心和切点，就能得到半径OM和BC垂直。那么本题让我们证明CD是圆O的切线该如何操作呢？我们想到切线的判定存在两种情况，主要区别在于要判定的这条直线是否经过圆上一点。这里题中并没有交代CD是否经过圆上某一点，所以我们应该做垂直证半径，过O点作ON垂直CD于N，只要证明这条垂线段和半径相等即可，没错，和OM相等就最简单了。而AC是∠BCD的平分线，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，那么ON和OM就相等了。这样我们就证出了CD与圆O相切。这是完整的解答过程，请对照图形仔细观察。
总结一下，本题主要考察了正方形的性质、角平分线的性质、切线的性质和切线的判定。我们注意到，在已知切线时，连接圆心和切点可以得到半径和垂直；在证明切线时，要看题目中是否交代经过圆上一点，从而准确选择情况完成证明。然后就是特殊四边形和三角形的知识在圆中的应用也很广泛。