师：同学们好，很高兴和大家一起开始今天的数学学习。请准备好纸和笔，今天我们学习初中数学人教版九年级上册“24.2 点和圆、直线和圆的位置关系”的第四课时。请看学习目标：一、掌握圆的切线的判定定理，能够运用切线的判定定理证明直线是圆的切线；二、能运用切线的判定定理及性质定理解决问题。
我们先来回顾一下上节课的知识，直线和圆的位置关系有几种？
生：有三种，分别是相交、相切、相离。
师：对，由定义可知，当直线(l)和圆(O)有两个公共点时，直线(l)和圆(O)相交；当直线(l)和圆(O)有一个公共点时，直线(l)和圆(O)相切；当直线(l)和圆(O)没有公共点时，直线(l)和圆(O)相离。我们也可以用圆心到直线的距离(d)与半径(r)的数量关系来判断直线和圆(O)的位置关系：(d\lt r)时，直线(l)和圆(O)相交；(d = r)时，直线(l)和圆(O)相切；(d\gt r)时，直线(l)和圆(O)相离。
今天我们重点来探究直线和圆相切这一位置关系。请同学们思考，你能依据(d = r)时直线和圆相切，作出圆(O)的一条切线吗？请大家按下暂停键，试着动手画一画。
既然依据(d = r)来作圆(O)的切线，直线位置不确定，圆心(O)到直线的距离也不确定，但半径(r)是确定的。所以我们可以先作圆(O)的一条半径(OA)，接下来把(OA)看成是圆心到直线的距离，那点(A)即是垂足，过(A)点作直线(l)垂直(OA)，则直线(l)和圆(O)相切。
根据作图，请同学们思考一下直线(l)有哪些特征？
生：经过半径的端点，垂直于半径。
师：准确来说，是经过半径的外端并且垂直于半径。满足这两个条件的直线就是圆的切线。由此可以得到切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。数学语言表示为：因为(OA)是圆(O)的半径，(l)垂直(OA)于点(A)，所以(l)是圆(O)的切线。
请同学们根据切线的判定定理，判断下列直线是不是圆(O)的切线，并说明理由。请按下暂停键。
师：图一中的直线不是圆(O)的切线，虽然直线经过了半径(OA)的外端，但与(OA)不垂直，所以该直线不是圆(O)的切线。图二、图三中的直线也不是圆(O)的切线，虽然它们垂直于半径，但没有经过半径的外端，所以不是圆(O)的切线。在运用切线的判定定理时，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可。
其实我们还可以用其他方法来判断直线是不是圆(O)的切线。同学们，你们知道还有哪些方法吗？
生：可以从直线与圆(O)的公共点个数来判断，也可以利用(d)与(r)的数量关系来判断。
师：是的，图一、图三中的直线与圆都有两个公共点，所以直线都不是圆(O)的切线。图二中的直线与圆没有公共点。利用(d)与(r)的数量关系来判断，图一、图三圆心到直线的距离小于半径，图二圆心到直线的距离大于半径，所以直线都不是圆(O)的切线。
同学们，我们来归纳一下判断一条直线是圆的切线的方法。第一种方法，定义法：直线与圆只有一个公共点，直线和圆相切。第二种方法，数量关系法：圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切。第三种，判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。方法一“直线与圆只有一个公共点”，只能直观去感受，很难作为几何证明的依据，所以几何证明很少运用切线的定义。方法二数量关系法和方法三切线的判定定理是几何证明中常用的方法。
同学们，我们已经知道经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，那它的逆命题是否正确呢？请思考。如图，如果直线(l)是圆(O)的切线，点(A)为切点，那么(OA)与直线(l)垂直吗？请按下暂停键。
同学们会发现由已知条件很难推出半径(OA)与直线(l)垂直，不能直接从命题的已知得出结论。我们可以试着用前面所学的另外一种证明几何题的方法——反证法来证明。大家还记得反证法的思路吗？
生：首先假设命题的结论不正确，经过推理得出矛盾，由矛盾断定假设不正确，从而得到原命题成立。
师：请同学们继续按下暂停键思考，我们一起来理清证明思路。首先，假设(OA)与直线(l)不垂直，既然它们不垂直，那我们就可以作直线(l)的垂线(OM)。此时三角形(AOM)是直角三角形，所以(OM\lt OA)，即圆心到直线(l)的距离小于圆(O)的半径。同学们想一想(d\lt r)时直线与圆(O)的位置关系是什么？
生：相交。
师：对，那恰好与已知条件(l)是圆(O)的切线相矛盾，所以假设不成立得证。我们来写出完整的证明过程：
证明：假设(OA)与(l)不垂直，过点(O)作(OM)垂直(l)，垂足为(M)，则(OM\lt OA)，即圆心到直线(l)的距离小于圆(O)的半径。所以直线(l)与圆(O)相交，与已知条件直线(l)是圆(O)的切线相矛盾，所以假设不成立。所以(OA)垂直于(l)。
这样我们由切线就可以得出垂直，切线垂直半径，而这条半径必须经过切点，这就是切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径。数学语言表示为：因为直线(l)是圆(O)的切线，(A)是切点，所以直线(l)垂直(OA)。
接下来我们运用今天所学的知识来解决一些问题。
第一小题：已知直线(AB)经过圆(O)上的点(C)，并且(OA = OB)，(CA = CB)。求证直线(AB)是圆(O)的切线。请同学们按下暂停键，理清思路并写出证明过程。
我们一起来分析，(C)是圆上一点，而且(AB)经过点(C)，那连接(OC)，直线(AB)就满足了经过半径外端这一条件。如果能证出(AB)垂直(OC)，运用切线的判定定理“经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”，就可以证出(AB)是圆(O)的切线。如何证明(AB)垂直(OC)？已知条件中(OA = OB)，说明三角形(AOB)是等腰三角形，(CA = CB)，说明点(C)是(AB)的中点。根据等腰三角形三线合一这一性质，可得(AB)垂直(OC)。
我们一起来写出证明过程：
证明：连接(OC)，因为(OA = OB)，(CA = CB)，所以(OC)是等腰三角形(OAB)上的中线，所以(OC)垂直(AB)。因为(OC)是圆(O)的半径，所以(AB)是圆(O)的切线。
这一题是运用切线的判定定理解决的，我们来看下一题是否也能利用判定定理解决。
请看题目2：如图，点(O)为(\angle ABC)平分线上一点，(OD)垂直(AB)于(D)，以(O)为圆心，(OD)为半径作圆。求证(BC)与圆(O)相切。请同学们按下暂停键，理清思路，写出证明过程。
同样，我们先来分析，点(O)为(\angle ABC)平分线上一点，(OD)垂直(AB)，这几个已知条件我们没有明确的思路。要证明(BC)与圆(O)相切，而已知条件未告知(BC)经过圆上某点，所以利用切线的判定定理去证明肯定不行。那同学们想想还有其他方法去证明(BC)是圆(O)的切线吗？
生：可以运用圆心到直线的距离与半径相等这一数量关系去证明。
师：对，原图中没有圆心(O)到(BC)的距离，我们过点(O)作(OE)垂直(BC)，垂足为(E)，如果能证出(OE)等于圆(O)的半径即可。由角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边距离相等”可得(OE = OD)，得证。