师：同学们，大家好！今天我们学习初中数学人教版九年级上册第二、四单元 R4.1 圆的有关性质。首先，老师想问大家一个问题，熊宝宝要过生日了，要把蛋糕平均分成 4 块，你会分吗？大家思考一下。我想同学们都会说会分，比如把蛋糕平均分成 4 块。有同学可能还会说可以继续分，把 4 块分成 8 块，就像大屏幕展示的那样。那从这些知识中能抽象出什么样的数学问题呢？让我们一起走进今天的课堂，共同探究数学的世界。
老师先请同学们观察一下，在圆 O 中这些角有什么共同特点。看角 AOB，它的顶点在圆心 O 上；再看另一个角 AOB，顶点同样在圆心 O 上。由此可得，它们的顶点都在圆心上。那么，顶点在圆心的角叫圆心角，比如角 AOB 就是圆心角。同学们理解了吗？接下来老师考考大家，请判断下面各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
先看第一个，很明显不是，因为它的顶点不在圆心上。第二个是不是呢？对，也不是，因为顶点也不在圆心上。第三个呢？对，也不是，因为顶点在圆周上。那第四个呢？对，第四个是圆心角，因为顶点在圆心上。同学们，做对了吗？
我们再看，角 AOB 把圆分出一段弧 AB，圆心角 AOB 所对的弧为弧 AB，所对的弦为 AB。任意给定一个圆心角，就会对应出现弧和弦。那同学们想一想，圆心角、弧、弦之间有什么关系呢？大家动脑思考一下。
我们一起来探究。请同学们观察，将圆绕圆心旋转 180 度后，得到的图形与原图形重合吗？大家思考一下。
看动画演示，把圆绕圆心旋转 180 度后，我们发现得到的图形与原图形是重合的，由此可以得出圆是中心对称图形。同学们，做对了吗？老师接着问大家，如果把圆绕圆心旋转任意一个角度，它与原来的圆重合吗？大家再动脑思考一下。
看动画演示，我们发现把圆绕圆心旋转任意一个角度，旋转前和旋转后的圆都重合，所以圆是旋转对称图形，具有旋转不变性。
接下来老师问大家问题一，在圆 O 中，如果圆心角∠AOB = ∠COD，那么弧 AB 与弧 CD、弦 AB 与弦 CD 有怎样的数量关系呢？大家动脑思考一下，拿出草稿纸和笔尝试解答。
因为将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，所以可将圆 O 绕圆心旋转，使点 A 与点 C 重合。由于∠AOB = ∠COD，因此点 B 与点 D 重合，从而弧 AB = 弧 CD，AB = CD。同学们，做对了吗？
老师再问大家问题二，如图，在等圆中，如果圆心角∠AOB = ∠COD，你发现的等量关系是否依然成立呢？大家同样思考一下。
来看动画演示，我们发现这两个等圆可以重合。通过平移和旋转可将两个等圆变成同一个圆。我们发现，如果∠AOB = ∠COD，那么弧 AB = 弧 CD，弦 AB = 弦 CD。同学们，做对了吗？
我们把重点归纳一下。弧、弦与圆心角的关系定理是：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。如图所示，在这个圆中，∠AOB = ∠COD，我们可以推出弧 AB = 弧 CD，弦 AB = 弦 CD。
类比这个定理，弧、弦与圆心角关系定理的推论是：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等；同样，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
我们来看它们的关系结构图。在同圆或等圆中，圆心角相等、弦相等可以相互推导；圆心角相等、弧相等也可以相互推导；弧相等、弦相等同样可以相互推导。要注意，一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧。同学们，记住了吗？
老师想请同学们再想一想，定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉呢？为什么？大家动脑思考一下，拿出纸和笔尝试分析。
我们看，这里有一个同心圆，在同心圆中，弦 AB 和弦 CD 所对的圆心角都是∠AOB，但是这两条弦并不相等；同样，弧 CD 和弧 AB 所对的圆心角也是∠AOB，但是弧 CD 和弧 AB 并不相等。所以同学们要注意，“在同圆或等圆中”这个条件不能去掉。同学们，记住了吗？
接下来我们做练习。先看判断题，第一个，“等弦所对的弧相等”，这句话对还是错呢？
这个是错的，因为缺了“在同圆或等圆中”这个条件。再看第二个，“等弧所对的弦相等”，这句话对还是错呢？
这句话是对的，因为等弧所对的圆心角相等，同时等弧也意味着它们在同圆或等圆中，所以所对的弦相等。再看第三个，“圆心角相等所对的弦相等”，这句话对还是错呢？
这句话也是错的，因为没有说“在同圆或等圆中”。