师：各位同学，大家好。今天我们学习初中数学人教版九年级上册第二十四单元 R4.1 圆的有关性质。首先来看这个问题，你们知道赵州桥吗？它的主桥是圆弧形，跨度即弧所对弦的长为 37 米，拱高也就是弧的中点到弦的距离为 7.23 米。大家能求出赵州桥主桥拱的半径吗？估计很多同学都在思考。那么，接下来通过本节课的学习来解决这个实际问题。首先，请同学们折一折。大家可以在长方形纸上裁剪出一个圆形纸片，通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴，动手试一试。在折的过程中，大家有什么发现？动动脑筋想一想。
生：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴。
师：对，如果圆是轴对称图形，它的对称轴是什么？能找到多少条对称轴呢？请同学们思考。好，请看动画演示，是怎么得出结论的呢？
生：可以用折叠的方法得出圆的对称性，圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。
师：好，老师问大家一个问题，AB 是圆 O 的一条弦，直径 CD 垂直 AB，垂足为 P 。大家能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么呢？思考一下。
生：相等的线段有线段 AP 等于 BP ，相等的弧有弧 AC 等于弧 BC ，弧 AD 等于弧 BD 。
师：理由如下，把圆沿着直径 CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，点 A 与点 B 重合，弧 AC 和弧 BC 、弧 AD 和弧 BD 重合。由此我们可以归纳总结出垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。垂径定理的推导格式可以这样写，因为 CD 是圆 O 的直径，CD 垂直 AB ，所以 AP 等于 BP ，弧 AC 等于弧 BC ，弧 AD 等于弧 BD 。这里一个是条件，一个是结论。垂径定理是圆中的一个重要定理，三种语言要相互转化，形成整体才能运用自如。那老师再问一问大家，下面图形是否具备垂径定理的条件呢？如果不是，请说明原因，思考一下。
生：第一个是，第二个不是，因为线段 AB 和线段 CO 并没有相互垂直。第三个是，第四个不是，因为线段 AB 和线段 CD 都不是直径。
师：大家做对了吗？我们归纳总结一下可运用垂径定理的几种常见图形，如大屏幕所示，一共有 4 种，请观察。好，接下来考考大家。第一题，如图，OE 垂直 AB 于 E ，若圆 O 的半径为 10 厘米，OE 等于 6 厘米，则 AB 等于多少厘米呢？思考一下。
生：首先连接 OA ，因为 OE 垂直 AB ，所以 AE 等于根号下 OA 的平方减 OE 的平方，即根号下 10 的平方减 6 的平方等于 8 厘米，所以 AB 等于 2 倍的 AE 等于 16 厘米。
师：答案是 16 厘米，做对了吗？接下来看第二题，如图，圆 O 的弦 AB 等于 8 厘米，直径 CE 垂直 AB 于 D ，DC 等于 2 厘米，求半径 OC 的长，请思考并动笔尝试解答。
生：连接 OA ，因为 CD 垂直 AB 于 D ，所以 AD 等于二分之一 AB ，即二分之一×8 = 4 厘米。设 OC = OA = x 厘米，则 OD = x - 2 厘米。根据勾股定理，可得 x 平方等于 4 的平方加上（x - 2）的平方，解得 x = 5 ，即半径 OC 的长为 5 厘米。
师：做对了吗？接下来一起思考探索，如果把垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”的结论与条件交换，命题还是真命题吗？这里有五个条件：一过圆心（即直径）；二垂直于弦；三平分弦；四平分弦所对的优弧；五平分弦所对的劣弧。以上 5 个条件中的任意两个条件都可以推出其他的 3 个结论吗？思考一下，我们把它写成猜想并证明。比如已知 1. CD 是直径，3. AE 等于 BE ，那么求证 2. CD 垂直 AB ，垂足为 E ；4. 弧 AC 等于弧 BC ，弧 AD 等于弧 BD ，大家如何证明呢？思考这道题。
生：连接 AO 、BO ，则 AO 等于 BO 。又因为 AE 等于 BE ，所以三角形 AOE 全等于三角形 BOE ，所以角 AEO 等于角 BEO 等于 90 度，所以 CD 垂直 AB 。由垂直定义可得，弧 AC 等于弧 BC ，弧 AD 等于弧 BD 。
师：我们归纳总结一下垂径定理的推论，平分弦（此弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。思考一下，“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，能举出反例吗？
生：比如大屏幕所示，这里的直径 AB 和直径 CD 互相平分，但并不互相垂直。所以“不是直径”这个条件不能去掉。
师：对，要特别说明圆的任意两条直径是相互平分的。再来看例 3 ，已知圆 O 中弦 AB 平行 CD ，求证弧 AC 等于弧 BD ，思考一下。
生：作直径 MN 垂直 AB ，因为 AB 平行 CD ，所以 MN 垂直 CD ，则弧 AM 等于弧 BM ，弧 CM 等于弧 DM 。理由是垂直平分弦的直径平分弦所对的弧，所以弧 AM - 弧 CM 等于弧 BM - 弧 DM ，所以弧 AC 等于弧 BD 。
师：对刚刚所学知识归纳总结，解决有关弦的问题，经常过圆心作弦的垂线或作垂直于弦的直径并构造半径等，为应用垂径定理创造条件。记住了吗？我们再来看本节课开始的问题。赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约 1400 年历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，跨度即弧所对弦的长为 37 米，拱高即弧的中点到弦的距离为 7.23 米。能求出赵州桥主桥拱半径吗？思考一下。