师：同学们好，我们今天的课程是人教版九年级上册第22章二次函数第三节极值问题与二次函数的第二课时。在日常生活中，存在着许多与数学知识有关的实际问题。商品买卖过程中，商家追求利润最大化是永恒的目标。如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？我们来看一个案例。某商品现在售价每件60元，每星期可卖出去300件。已知商品进价为每件40元，那么每星期销售额是多少元？销售利润又是多少元？
生：销售额是18000元，销售利润是6000元。
师：在这个销售过程中包含了哪些数量关系呢？首先，销售额等于售价乘以销售量；第二个，利润等于销售额减去总成本，也可以用单件利润乘以销售量。那么单件利润如何计算呢？
生：单件利润是单件售价减去单件进价。
师：好了，有了这些知识储备后，请同学们帮忙计算出如何定价，能使商场利润最大。我们来看这个例题，某商品现在售价为每件60元，每星期可卖出去300件。市场调查反映，每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？请同学们思考。
生：要分情况讨论，有可能涨价，也有可能降价。
师：看第一种情况，涨价销售。我们可以假设每件涨价x元，每星期售出的商品利润为y元。先来填一个表格，正常销售时每件的利润是60减去40，即20元一件，销量是300件，每周利润是6000元。现在涨价x元，也就是说在原来利润的基础上增加了x元，所以现在的单件利润是20加x。销量需要在300的基础上减少，每涨1元减少10件，涨了x元，应该减去10x，也就是300减去10x。每件利润知道了，总的销售量也知道了，请问每周的利润该如何计算？
生：将这两个一次式相乘。
师：所以我们建立了函数关系式，y等于（20 + x）×（300 - 10x）。如何求得这个函数的最大值呢？在实际问题当中，我们一定要关注自变量的取值范围。我们可以先将这个函数解析式整理成一般形式。营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以。所以300减去10x大于等于0，且x大于等于0。因此自变量的取值范围是x大于等于0，小于等于30。第二步，涨价多少元时利润最大，利润是多少？
生：利用公式求得x等于5的时候，y取得最大值。这个最大值可以利用公式，也可以将x等于5带入到函数解析式，算得y的最大值是6250。
师：对，我们也可以对其进行配方，成顶点式，直接看出当x等于5的时候，最大值也是6250。同学们，你们算对了吗？特别要注意一下右边的代数式，这些0不能约去，想一想为什么，你们是不是也犯了这样的错误？接下来我们来看第二种情况，降价销售。此时我们可以设每件降价x元，则每星期售出商品的利润为y元。同样，我们也来填一个表格。降价x元，现在的单件利润是20减x。这个20减x同学们也可以这样得到，原来售价是60元，现在降价x元，现在售价就是60减x元，现在售价减去成本40，即60减x减40，化简后是20减x。销量上升，每降价1元可多卖出20件，所以现在的销售量是300加上20x。那么现在利润的函数关系式就是y等于（20 - x）×（300 + 20x）。同样，我们首先要求出x的取值范围。营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以。所以20减x要大于等于0，且x大于等于0。因此自变量x的取值范围是大于等于0，小于等于20。第二步，降价多少元时，利润最大是多少？
生：仿照第一种情况，可以先利用公式求出，当x等于5/2时，y的最大值是6125元。把 -b/2a = 5/2求出来以后，将5/2带到最原始的两个一次式相乘的式子里面计算也很简单，也就是说定价为57.5元的时候，最大利润是6125元。
师：同学们，由一、二的讨论及现在的销售情况，你知道应该如何定价使利润最大了吧？通过对比6125小于6250，所以我们定价为65元时才能使利润最大，也就是说商家最终选择了涨价5元。通过上面的讨论，我们知道求解最大利润问题的一般步骤。第一，引入自变量；第二，用含自变量的代数式分别表示单件利润及销售量；第三，建立利润与价格之间的函数关系式，一般我们用到的是总利润等于单件利润乘以销售量；第四，结合实际意义确定自变量的取值范围；第五，根据函数关系式求出最大值，即取得最大值时的自变量的值。现在我们来看一组练习。第一题，某种商品每件进价为20元。调查表明，在某段时间内，若以每件x元出售（x大于等于20，小于等于30），可以卖出600 - 20x件，要使利润最大，则每件售价应定为多少元呢？
生：先建立利润的函数关系式，应该是单件售价减去成本，乘上销售量，所以是（x - 20）×（600 - 20x）。仿照前面的计算，我们可以去括号整理，利用公式求得x的值，y的最大值。
师：现在我们有没有更简单的做法来应对选择填空呢？比如说我们知道当y = 0的时候，x? = 20，x? = 30。请同学们思考一下这句话包含的意义。
生：说明这个函数经过（20，0）、（30，0）这样两个特殊点，这是一对对称点。