师：同学们，之前我们从一次函数的角度认识一元一次方程，了解了二者的联系。现在，我们从二次函数的角度来看一元二次方程，探究它们之间的联系。先看这样一个问题：以40米每秒的速度将小球沿与地面呈30度角的方向击出，球的飞行路线是抛物线。若不考虑空气阻力，球的飞行高度h与飞行时间t的关系为h = 20t - 5t2 。思考以下几个问题。
第一个问题，球的飞行高度能否达到15米？若能，需要多长时间？这个问题很容易解决，让h = 15，即20t - 5t2 = 15 。解这个方程，得到t? = 1 ，t? = 3 。所以，当球飞行1秒和3秒时，高度为15米。
接着看第二个问题，球的飞行高度能否达到20米？若能，需要多长时间？同样，让h = 20，得到20t - 5t2 = 20 。解这个方程，解得t? = t? = 2 。这表明当球飞行2秒时，高度是20米。老师有个疑问，为什么问题一中有两个时间点符合题意，而问题二中只有一个呢？结合图形思考一下。从图中可以看到，球的飞行路线是抛物线，我们知道抛物线是轴对称图形。在这个图形里，高度为15米的点有两个，而抛物线最高点的高度正好是20米，所以只有一个点符合题意，大家明白了吗？
再来看第三个问题，球的飞行高度能否达到20.5米？为什么？在刚才的问题二中，我们已经知道球飞行的最大高度是20米，所以达不到20.5米。怎么用式子表示呢？让h = 20.5 ，就得到20t - 5t2 = 20.5 ，通过判断这个方程是否有解来解释。化简这个方程得t2 - 4t + 4.1 = 0 ，方程有没有解呢？我们可以算一下它的Δ ，经计算，这个方程的Δ = (- 4)2 - 4×4.1 ＜ 0 ，所以方程没有实根。回到实际问题，就是球的飞行高度达不到20.5米。
第四个问题，求球从飞出到落地需要多少时间？结合图形，球飞出和落地时高度是0米。所以让h = 0 ，得到20t - 5t2 = 0 这个方程。解这个方程得t? = 0 ，t? = 4 。因此，当球飞行0秒和4秒时，高度是0米，即0秒时球从地面飞出，4秒时球落回地面，共耗时4秒钟。
从上面这个问题我们发现，一般地，当y取定值且a ≠ 0时，二次函数可化为一元二次方程。比如y = 55 ，55 = ax2 + bx + c就是一个一元二次方程。所以二次函数与一元二次方程关系密切。再举个例子，已知二次函数y = - x2 + 4x的函数值为3，求自变量x的值，这就是在求方程3 = - x2 + 4x的解。反过来，解方程x2 - 4x + 3 = 0 ，就是已知二次函数y = x2 - 4x + 3的函数值为0时，求自变量x的值。
下面我们对刚才的发现做个小结。如果二次函数y = ax2 + bx + c的函数值为m时，求自变量的值就是解一元二次方程ax2 + bx + c = m 。反之，解一元二次方程ax2 + bx + c = m ，可以看成是已知二次函数的函数值为m时，求自变量x的值。
在此基础上，我们还可以延伸：方程ax2 + bx + c = m的解可以看成是抛物线y = ax2 + bx + c与直线y = m的公共点的横坐标。所以，我们可以利用二次函数来深入探讨一元二次方程。接下来，我们进一步探索二次函数与x轴公共点和一元二次方程根的关系。
首先，在同一坐标平面内分别画出下列二次函数的图像：第一个是y = x2 + x - 2 ；第二个是y = x2 - 6x + 9 ；第三个是y = x2 - x + 1 。同学们，我们通过列表、描点、连线，在同一坐标平面内画出这三条二次函数的图像，如右图所示。观察函数图像，完成下列表格，填写图像与x轴交点的坐标。看图像，第一个抛物线与x轴有两个交点，分别是(- 2,0)和(1,0) ；第二条抛物线与x轴只有一个交点，是(3,0) ；第三条抛物线与x轴没有交点。表格中还给出了这三个二次函数相应的方程，分别是x2 + x - 2 = 0 ，x2 - 6x + 9 = 0 ，x2 - x + 1 = 0 。
那这三个方程的Δ是多少呢？通过计算发现，第一个方程的Δ ＞ 0 ；第二个方程的Δ = 0 ；第三个方程的Δ ＜ 0 。这三个方程的根大家会求吗？相信难不倒同学们。第一个方程有两个不相等的实数根，分别是x? = - 2 ，x? = 1 ；第二个方程有两个相等的实数根，x? = x? = 3 ；第三个方程因为Δ ＜ 0 ，所以没有实数根。表格填完了，根据这个表格，我们能得出二次函数与x轴公共点和一元二次方程根的关系吗？很容易得出，根的判别式除了能判断一元二次方程根的情况，现在还能判断抛物线与x轴公共点的个数。怎么判断呢？当Δ ＞ 0时，抛物线与x轴有两个公共点，相应方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，抛物线与x轴只有一个公共点，相应方程有两个相等的实数根；当Δ ＜ 0时，抛物线与x轴没有公共点，相应方程也没有实数根。同时我们还发现，一元二次方程的根正是其对应抛物线与x轴公共点的横坐标。