师：同学们好，今天我们继续学习2.12.1节二次函数的图像和性质，第六课时。今天的副标题是2.12.1.4二次函数$y = ax2 + bx + c$的图像和性质，也就是一般形式的二次函数。首先，我们一起来复习一下。二次函数$y = a(x - h)2 + k$的图像与二次函数$y = ax2$的图像有怎样的关系呢？
生：抛物线$y = a(x - h)2 + k$与抛物线$y = ax2$形状相同，位置不同。把抛物线$y = ax2$向上或向下、向左或向右平移，可以得到抛物线$y = a(x - h)2 + k$。平移的方向和距离要根据$h$和$k$的值来决定。例如，当$k = 2$，$h = 1$时，就是抛物线$y = ax2$向上平移两个单位，再向右平移一个单位。
师：非常好。那么二次函数$y = a(x - h)2 + k$图像的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是什么呢？增减性又如何呢？
生：抛物线$y = a(x - h)2 + k$的图像和性质分为两种情况。当$a > 0$时，开口向上，对称轴是直线$x = h$，顶点坐标是$(h, k)$。当$x = h$时，$y$有最小值$k$；当$x < h$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x > h$时，$y$随$x$的增大而增大。当$a < 0$时，开口向下，对称轴是直线$x = h$，顶点坐标是$(h, k)$。当$x = h$时，$y$有最大值$k$；当$x < h$时，$y$随$x$的增大而增大；当$x > h$时，$y$随$x$的增大而减小。
师：这是我们之前学过的内容。下面来看一个具体问题，二次函数$y = \frac{1}{2}x2 - 6x + 21$的图像开口方向、对称轴和顶点坐标是什么？能否用之前学过的知识来解决呢？怎样才能把二次函数$y = \frac{1}{2}x2 - 6x + 21$转换为$y = a(x - h)2 + k$的形式呢？
生：我们可以利用配方法。第一步，把二次项系数提出来，常数项放在外面，得到$y = \frac{1}{2}(x2 - 12x) + 21$。第二步，观察括号内一次项的系数，配一次项系数一半的平方，也就是加上$(\frac{-12}{2})2$，当然也要减去$(\frac{-12}{2})2$，即$y = \frac{1}{2}(x2 - 12x + (\frac{-12}{2})2 - (\frac{-12}{2})2) + 21$。然后用乘法分配律把减去的$(\frac{-12}{2})2$拿出来，得到$y = \frac{1}{2}((x - 6)2 - 36) + 21$，进一步化简为$y = \frac{1}{2}(x - 6)2 + 3$。这样它的对称轴就是直线$x = 6$，顶点坐标是$(6, 3)$。二次函数$y = \frac{1}{2}x2 - 6x + 21$的图像可以由二次函数$y = \frac{1}{2}x2$的图像向右平移$6$个单位长度，再向上平移$3$个单位长度得到。
师：非常棒。我们把$y = \frac{1}{2}x2 - 6x + 21$叫做二次函数的一般式，把通过配方得到的$y = \frac{1}{2}(x - 6)2 + 3$这种形式的二次函数叫做顶点式。通过刚才的学习可以看出，一般式通过配方可以转换为顶点式，反之，顶点式展开也可以变成一般式。下面我们再来画一下它的图像。
生：我们可以通过列表、描点、连线的方法。先在平面直角坐标系中标出它的顶点坐标，再由对称轴标出其他点的坐标，用一条光滑的曲线把它们连起来，就可以得到$y = \frac{1}{2}x2 - 6x + 21$的图像。由图像可知，当$x > 6$时，函数图像从左向右上升，即$y$随$x$的增大而增大；当$x < 6$时，图像从左向右下降，即$y$随$x$的增大而减小。
师：很好。那么你能用刚才的方法得出二次函数$y = -2x2 - 4x + 1$的图像的对称轴和顶点坐标吗？它的增减性如何呢？
生：根据刚才的步骤，我们可以配方。第一步，把二次项系数$-2$提取出来，括号内剩下$x2 + 2x$，即$y = -2(x2 + 2x) + 1$。第二步，配一次项系数一半的平方，$1$的平方就是$1$，得到$y = -2(x2 + 2x + 1 - 1) + 1$，进一步转化为$y = -2((x + 1)2 - 1) + 1$，化简为$y = -2(x + 1)2 + 3$。所以二次函数$y = -2x2 - 4x + 1$的对称轴是直线$x = -1$，顶点坐标是$(-1, 3)$。当$x > -1$时，$y$随$x$增大而减小；当$x < -1$时，$y$随$x$增大而增大。
师：非常正确。那么怎样通过配方得出一般形式的二次函数$y = ax2 + bx + c$对称轴和顶点坐标，并研究它的增减性呢？
生：方法和刚才一样。先把二次项系数$a$提出来，括号内一次项系数变成$\frac{b}{a}$，然后给它配上$(\frac{b}{2a})2$，进一步就可以把它变成顶点式$y = a(x + \frac{b}{2a})2 + \frac{4ac - b2}{4a}$。由此可以看出，$y = ax2 + bx + c$的对称轴是直线$x = -\frac{b}{2a}$，顶点坐标是$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b2}{4a})$。这两个式子也叫做一般形式的二次函数的对称轴和顶点坐标公式。
师：没错。二次函数$y = ax2 + bx + c$，既可以通过配方转换为顶点式，进而得出顶点坐标和对称轴，也可以用刚才所得到的公式直接得到。我们一起来看一下它们的增减性。首先请看第一种情况，当$a > 0$时，开口向上，图像有最低点。当$x = -\frac{b}{2a}$时，$y$有最小值。当$x < -\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$增大而减小；当$x > -\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$增大而增大。再看$a < 0$时，开口向下，图像有最高点。当$x = -\frac{b}{2a}$时，$y$有最大值。当$x < -\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$增大而增大；当$x > -\frac{b}{2a}$时，$y$随$x$增大而减小。下面我们一起来完成课本上面的练习。
第一个二次函数$y = 3x2 + 2x$，开口向上。我们可以用刚才所学习的方法来得出它的对称轴和顶点坐标，既可以配方，也可以套用公式。首先确定这个二次函数的二次项系数$a = 3$，一次项系数$b = 2$。用公式对称轴是直线$x = -\frac{b}{2a}$，就可以得出其对称轴是直线$x = -\frac{1}{3}$。同样的，套用公式也能写出它的顶点坐标是$(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{3})$。
第二个函数$y = -x2 - 2x$，开口向下。它的二次项系数$a = -1$，一次项系数$b = -2$。我们就可以得到它的对称轴是直线$x = -1$，顶点坐标是$(-1, 1)$。
第三个二次函数，二次项系数$a = -2$，一次项系数$b = 8$，常数项等于$-8$，开口向下，对称轴是直线$x = 2$，顶点坐标是$(2, 0)$。
第四个函数，开口向上。很明显，它的二次项系数$a = \frac{1}{2}$，一次项系数$b = -4$，常数项等于$3$，可得对称轴是直线$x = 4$，顶点坐标是$(4, -5)$。
师：讲完练习，我们这一节课内容即将结束，我们一起来小结一下。第一点，我们怎么得出二次函数$y = ax2 + bx + c$顶点坐标和对称轴的呢？这又体现了怎样的数学思想呢？
生：我们通过配方把一般形式的$y = ax2 + bx + c$二次函数转换为了顶点形式的二次函数$y = a(x - h)2 + k$，这体现了转化的数学思想。
师：第二点，形如$y = ax2 + bx + c$二次函数顶点坐标及对称轴的确定方法有哪些？
生：方法一，我们可以用配方法来确定顶点坐标以及对称轴；方法二，我们可以直接用公式来确定，即抛物线$y = ax2 + bx + c$对称轴为直线$x = -\frac{b}{2a}$，顶点坐标是$(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b2}{4a})$。函数的增减性根据对称轴和开口方向即可确定。
师：我们这节课就讲到这里，同学们再见。