师：同学们，大家好。之前我们学习了一元二次方程的概念，还掌握了配方法、公式法和因式分解法这三种解一元二次方程的方法。很多现实问题中的数量关系都能抽象成一元二次方程。今天我们就来学习新的一节——实际问题与一元二次方程。
首先，我们来看生活中的问题。现有一人患了流感，如果每轮每人传染3人，那么第一轮传染后患病人数为多少？第二轮传染后患病人数又为多少呢？这里的一轮传染、二轮传染指的是两个传染周期。已知每人每轮传染3人，初始病原为一人时，第一轮传染后新患流感的人数为3人，加上原本患病的1人，共有1 + 3 = 4人患了流感，即第一轮传染后患病的人数为4人。
在第二轮中，每人还是传染3人，关键在于病原在第二轮也参与传染，所以第二轮传染中一共有4人参与传染。那么第二轮传染后新患流感的人数为4×3人，两轮后患病总人数为1 + 3 + 4×3 = 16人。
通过对两轮传染的分析，我们发现有三个关键点。一是病员人数，本题中病原为1人；二是每人每轮传染的人数，本题中是3人；三是传染周期数，本题经过了两轮传染。
带着这样的认识，我们来解决一个实际问题。有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感。问，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
通过刚才的分析，本题中病原1人，流感传染了两轮，未知的是每人每轮传染的人数。我们用方程的思想来解决，设每轮传染中平均一个人传染了x个人。则第一轮传染后新患流感的人数为x人，共有1 + x人患病。第二轮传染时，这1 + x人都参与了，新患流感的人数为x(1 + x)人，那么两轮后共有1 + x + x(1 + x)人患了流感。
我们发现可以通过提取1 + x进行因式分解，将式子转化为(1 + x)2。对比第一轮传染后的总人数1 + x，第二轮传染后的总人数(1 + x)2，大家可以思考其中规律。
回到本题，根据数量关系，第二轮传染后共有121人患流感，所以可列方程1 + x + x(1 + x) = 121，整理后为(1 + x)2 = 121。同学们可以用熟悉的方法解方程，这个方程用直接开平方方法求解更合适，解得x? = 10，x? = - 12。因为传染人数应为正整数，所以 - 12不符合题意，舍去，即平均一个人传染了10个人。
在此基础上，请问如果按照这样的传染速度，三轮传染后共有多少人患流感呢？
第二轮传染后共有121人患了流感，每人每轮传染10人，第三轮新患流感的人数为121×10人，那么三轮后共有121 + 121×10 = 1331人患了流感。这个式子左边可转化为113，也就是(10 + 1)3，可看成(1 + x)3，其中x就是每轮每人传染的人数。
当病原为一人时，如果每轮传染中平均一个人传染了x个人，我们可得：第一轮传染后感染的人数为1 + x人；第二轮传染后感染的人数为(1 + x)2；第三轮传染后感染的人数为(1 + x)3；以此类推，第n轮感染后的人数为(1 + x)?。
接下来，我们看另一个生活中的问题。某种植物的主干长出若干树木的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的数量和是91，问每个枝干长出多少小分支？
通过分析，本题数量关系是主干 + 枝干 + 小分支 = 91，主干是1个，枝干和小分支数目未知，且它们生长数量关系相同。设每个枝干长出x个小分支，那么主干长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，所以小分支数量为x2个。
由此可得，主干数量为1，枝干数量为x，小分支数量为x2，根据题意可列出方程1 + x + x2 = 91。同学们可以用不同方法求解，哪种方法更简便呢？解得x? = 9，x? = - 10。结合实际背景，x应为正整数，所以 - 10舍去，即每个枝干长出9个小分支。
以上两个问题是本节课研究的传播问题，现实生活中有很多类似问题，比如细胞分裂、信息传播、流感传染、植物生长等。第一个以流感问题为背景，第二个以植物生长问题为背景。这两个问题解题思路相同，但有区别。流感问题中病原参与第二轮传染，第二轮传染结束后总人数为(1 + x)(1 + x)；植物生长中，主干只生长枝干，枝干生长小分支，最后总量为1 + x + x2。同学们以后解决这类问题要仔细分辨属于哪种情况。
下面的练习交给同学们独立完成。
师：好，我们来看这个问题，有两人患了流感，经过两轮传染后，共有242人患了流感。问，每轮传染中平均一个人传染了几个人？同学们完成了吗？我们来看看解答是否正确。与之前例子相比，本题病员人数从1人变为2人。同样设每轮传染中平均一个人传染了x人，那么第一轮传染后新患流感的人数为2x人，共有2 + 2x人患了流感。这2 + 2x人参与第二轮传染，第二轮传染后新患流感的人数为x(2 + 2x)人，两轮后共有2 + 2x + x(2 + 2x)人患病。