师：同学们好，今天我们继续探究 21.3 实际问题与一元二次方程的第三课时。同学们，使用方程解决实际问题的步骤大家还记得吗？
第一步，审。要分清已知和未知，明确题目中的数量关系。
第二步，设。如何设未知数呢？我们可以求什么设什么，这是直接设法，当然也可以间接设。
第三步，列。根据数量关系列方程。
第四步，解。把列出的方程求解。但方程的解一定是实际问题的答案吗？
第五步，验。根据实际需要检验方程的解是否符合题目的意思。
最后，答。写出答案。
通过审、设、列，我们将实际问题转化为数学问题，比如可以抽象出几何图形等。通过解、验、答，我们得到实际问题的答案。下面我们通过一个问题来看看具体是如何体现的。
要设计一本书的封面，封面长 27 厘米，宽 21 厘米，正中央是一个矩形。如果要使四周的彩色边衬所占的面积是封面面积的 1/4，且彩色边衬上下左右等宽，应该如何设计四周边衬的宽度呢？下面我们来分析一下。
这本书的封面可转化为矩形，长 27 厘米，宽 21 厘米，正中央也是矩形。题目要求四周彩色边衬所占面积是封面面积的 1/4 。彩色边衬由 4 个小矩形组成，其面积既可以用整个封面的面积减去中央矩形的面积来表示，也可以直接表示 4 个小矩形的面积。既然彩色边衬所占面积是封面面积的 1/4，那么中央矩形面积就是封面面积的 3/4 。
分析到这，我们可以考虑设未知数了。因为求边衬宽度，所以可直接设宽度为 x 厘米。那么中央矩形的面积就可表示为((27 - 2x))（作为中央矩形的长）乘以((21 - 2x))（作为中央矩形的宽）。若表示边衬面积，可利用封面面积(27×21)减去中央矩形面积((27 - 2x)(21 - 2x))，等于封面面积的(1/4)，即(\frac{1}{4}×27×21) 。
同学们观察这个等式，左边用封面面积减去中央矩形面积，右边表示边衬面积，求出 x 的值就能解决问题。老师想问，还有其他方法列出方程吗？刚才表示边衬面积时，我们发现中央矩形面积是封面面积的 3/4 ，那么方法二就是直接用中央矩形面积((27 - 2x)(21 - 2x))等于封面面积的(3/4)来建立方程。不同方程表达的等量关系不同，但利用未知数表示边长，通过面积间的等量关系建立方程都能解决问题。
下面我们再看一个变式。
如图，要设计一本书的封面，封面长 27 厘米，宽 21 厘米，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形。注意看题目的条件和刚才有什么变化。要使四周彩色边衬所占面积是封面面积的 1/4，这个条件和刚才一样。上下边衬等宽，左右边衬等宽，这句表述和刚才相同吗？同样的问题，该如何设计四周边衬的宽度呢？要求结果保留小数点后一位，同学们思考一下。
对比刚才的例题，看看变式一和例题哪些地方相同，哪些地方不同。首先，封面长 27 厘米，宽 21 厘米，中央是矩形，四周边衬面积是封面面积的 1/4 ，这些条件和例题相同。不同的是，正中央是与整个封面长宽比例相同的矩形，封面长宽比是(27:21 = 9:7)，既然比例相同，那么中央矩形长宽之比也是(9:7) 。
那边衬之间是什么关系呢？如果设中央矩形的长和宽分别为(9a)和(7a)，上下边衬宽怎么表示呢？整个封面长 27 ，减掉中央矩形长(9a)，因为边衬有上下之分，所以上下边衬宽为(\frac{27 - 9a}{2})。同理，左右边衬宽可表示为(\frac{21 - 7a}{2})。化简后可得上下边衬和左右边衬宽度之比也是(9:7) 。
有了这个关系能帮助我们解决问题吗？既然上下边框宽和左右边框宽比是(9:7)，于是设一份是(y)，上下边框宽就可表示为(9y)，左右边框宽表示为(7y)。根据题意，中央矩形面积可表示为((27 - 18y)(21 - 14y))，因为中央矩形面积是整个封面面积的(3/4)，所以((27 - 18y)(21 - 14y)=\frac{3}{4}×27×21) 。观察所列等式是一元二次方程，按照前面讲的一元二次方程解法，可求得(y = \frac{6}{4} \pm 3\sqrt{3}) 。方程有两个根，取加号时不符合实际意义，所以(y = \frac{6}{4} - 3\sqrt{3}) 。一份是(\frac{6}{4} - 3\sqrt{3})，那么(9y = \frac{54}{4} - 27\sqrt{3})，要求结果保留小数点后一位，进行估算，(9y\approx1.8)厘米，(7y = \frac{42}{4} - 21\sqrt{3}\approx1.4)厘米。
还有其他方法吗？刚才解法一是直接设法，设上下边衬和左右边衬。其实我们知道，封面、中央矩形、边衬的长宽比都是(9:7)，所以也可以用间接设法，设正中央矩形两边分别为(9x)厘米和(7x)厘米。按照等量关系可得方程(9x×7x = \frac{3}{4}×27×21) 。解这个方程，(x_1 = \frac{3}{2}\sqrt{3})，(x_2 = -\frac{3}{2}\sqrt{3})，(x_2)不符合题意舍去。
同学们观察这个方程，和刚才方程表达含义一样，都是表示中央矩形面积，但从方程构造上看，解法二明显优于解法一，方程构成更简单。通过求解(x)，继续求上下边框宽度和左右边框宽度。上下边衬宽度是封面长减去中央矩形长再除以 2 ，代入(x)值，可得上下边衬宽度为(\frac{54}{4} - 27\sqrt{3}\approx1.8)厘米，和刚才解法一答案一样。左右边衬宽度计算方法是封面宽(21)减去中央矩形宽(7x)再除以 2 ，代入(x)值，可得(\frac{42}{4} - 21\sqrt{3}\approx1.4)厘米，和刚才答案一致。对比方法一和方法二，第二种更直观，虽然是间接设法，但寻找等量关系更容易，获取方程也更易表达。所以大家解决实际问题时，一定要全面分析，合理设未知数，方便解题。