师：同学们好，今天我们一起来学习 21.2 节解一元二次方程的第七课时，也就是对解法进行小结和复习。首先进行知识梳理，在学习了一元二次方程的概念后，我们就开始研究如何解方程。大家想想，我们一共有多少种解方程的方法呢？
生：有直接开平方方法、配方法、公式法，还有因式分解法。
师：非常正确。这些方法的目的只有一个，就是降次，把二次降为一次。在学习公式法的过程中，我们知道了根的公式是$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。同时，我们接触到了$\Delta$这个名词，它就是根的判别式，可以判断根的情况。当$\Delta > 0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta < 0$时，方程无实数根。进一步，我们学习了根与系数的关系，也就是韦达定理，表述为$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$。当然，使用韦达定理有个大前提，就是方程一定是有根的情况，即$\Delta \geq 0$。
好了，以上是知识的梳理。接下来我们具体看第一个方法——直接开平方方法。一般对于方程$x^2 = p$，当$p > 0$时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根，分别是$x_1 = -\sqrt{p}$，$x_2 = \sqrt{p}$；当$p = 0$时，根据平方根的意义，方程有两个相等的实数根，是多少呢？
生：$x_1 = x_2 = 0$。
师：对。而当$p < 0$时，因为对于任意实数$x$，都有$x^2 \geq 0$，所以方程有实数根吗？
生：无实数根。
师：很好。如果我们把这个方程稍微变形一下，变成$(mx + n)^2 = p$。当$p > 0$时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根，分别为？
生：$x_1 = \frac{\sqrt{p} - n}{m}$，$x_2 = \frac{-\sqrt{p} - n}{m}$。
师：非常棒。当$p = 0$时，根据平方根的意义，方程有两个相等的实数根，分别是多少？
生：$x_1 = x_2 = -\frac{n}{m}$。
师：没错。当$p < 0$时，因为对于任意实数$x$，都有$(mx + n)^2 \geq 0$，而右边是小于$0$的数，这是不可能的，所以方程？
生：无实数根。
师：好，这是直接开平方方法。知识点二，配方法。将方程通过配成什么样的形式来解一元二次方程的方法叫做配方法呢？
生：完全平方形式。
师：配方法的目的是什么呢？
生：降次，把一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。
师：对，用配方法解一元二次方程的关键是将一元二次方程配成完全平方形式。具体是如何操作的呢？若方程二次项系数为$1$时，方程两边加上一次项系数一半的平方。其基本步骤为：一、移项，把常数项移到方程的右边；二、化系数为$1$，方程的每一项除以二次项系数；三、配方，配一次项系数一半的平方；四、开方求解，利用直接开平方法进行求解。我们看一道例子，用配方法解一元二次方程$2x^2 + 1 = 3x$。第一步移项，我们要把常数项移到方程的右边，那剩下的都应该在左边，所以方程变成？
生：$2x^2 - 3x = -1$。
师：第二步，系数化为$1$，两边同时除以多少呀？
生：$2$，得到$x^2 - \frac{3}{2}x = -\frac{1}{2}$。
师：好，最关键的第三步进行配方喽，我们要加上一次项系数一半的平方，两边都加，所以变成$x^2 - \frac{3}{2}x + (\frac{3}{4})^2$，同样右边是$-\frac{1}{2} + (\frac{3}{4})^2$，写成平方的形式是$(x - \frac{3}{4})^2 = \frac{1}{16}$，那接下来就可以开方求解了，得到的答案是？
生：$x_1 = 1$，$x_2 = \frac{1}{2}$。
师：大家发现没有，配方法好像就是一种技能，到最后配成可以直接利用直接开平方方法的形式，对吧？最后再利用直接开平方就可以得出正确结果了。好，以上是配方法。接下来是公式法。首先我们引入了判别式的概念，一般的式子$b^2 - 4ac$叫做一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的根的判别式，通常用希腊字母$\Delta$表示，即$\Delta = b^2 - 4ac$。由推导过程可知，当$\Delta > 0$时，一元二次方程有两个不等的实数根；当$\Delta = 0$时，一元二次方程有两个相等的实数根；当$\Delta < 0$时，一元二次方程？
生：无实数根。
师：即当$\Delta \geq 0$时，方程它的实数根为$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。这是公式法。第四个知识点，因式分解法。利用因式分解法求解一元二次方程的基本步骤有哪些呢？
生：一、移项使一元二次方程等号右边为$0$；二、分解，对左边进行因式分解，化成两个一次因式相乘的形式；三、赋值，分别令每个因式等于$0$，得到$2$个一元一次方程；最后求解，分别解这两个一元一次方程，从而得到方程的解。
师：好，最后一个知识点，一元二次方程根与系数的关系。根与系数关系的一个大前提是什么？
生：$\Delta \geq 0$。
师：对，只有满足了这样的关系，我们才可以使用韦达定理。它的内容是，如果一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个根分别是$x_1$和$x_2$，那么$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$。它有一些变形的应用，比如说平方和$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$；导数和$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$；差的绝对值$\vert x_1 - x_2 \vert = \sqrt{(x_1 - x_2)^2} = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}$；$\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1x_2}$；$(x_1 + 1)(x_2 + 1)$，只需要把它乘开再结合在一起就可以得到$x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1$。
好，以上我们就复习了近期学习的$5$个知识点，接下来看看怎么应用。第一个就是老老实实地解方程，但是我们在这个地方要用适当的方法解方程。比如说第一题$(3x - 1)^2 - 4 = 0$，大家思考一下这道题我们应该用什么样的适当方法呢？
生：直接开平方。
师：故我们移项得到$(3x - 1)^2 = 4$，$3x - 1$就会等于正负$2$两个结果，于是进一步写成$x_1 = 1$，$x_2 = -\frac{1}{3}$，所以直接开平方法比较合适。那么第二题$x^2 + 2x - 48 = 0$，你会选用什么呢？
生：可以使用配方法。
师：把$-48$移到等式的右边，得到$x^2 + 2x = 48$，两边配方一次项系数一半的平方，也就是$1$的平方，得到$x^2 + 2x + 1 = 48 + 1$，再进一步写成$(x + 1)^2 = 49$，得到$x + 1 = \pm 7$，从而得到$x_1 = -8$，$x_2 = 6$。好，再来第三题$2t^2 - 7t + 5 = 0$，这道题你可以使用哪些方法呢？
生：既可以使用公式法，也可以使用因式分解当中的十字相乘。
师：老师在这个地方使用的是公式法。我们可以得出$a = 2$，$b = -7$，$c = 5$。那么根据$\Delta$先判断一下，$\Delta = b^2 - 4ac = 9 > 0$，所以这个题有根，而且是两个不相等的根，再带入到求根公式当中，我们可以得到$t = \frac{7}{4} \pm 3$，进一步写成$t_1 = \frac{5}{2}$，$t_2 = 1$。当然如果你用十字相乘的话，也可以做一做，看是不是这个答案。
第四题$3(x - 2)^2 = x^2 - 4$，这道题应该用什么适当的方法呢？
生：可以因式分解。
师：也就是说我们把$3(x - 2)^2 = x^2 - 4$，分解成$3(x - 2)^2 = (x + 2)(x - 2)$，然后我们再提取公因式$x - 2$，就得到了$(x - 2)(3x - 6 - x - 2) = 0$，进一步整理得到$(x - 2)(2x - 8) = 0$，从而得到$x_1 = 2$，$x_2 = 4$。以上，大家都做对了吗？这只是我们最基本的要求哟。
好，第二题我们再来看。不论$x$，$y$为什么数，代数式$4x^2 + 3y^2 + 8x - 12y + 7$的值会怎么样？A. 总大于$7$；B. 总不小于$9$；C. 总不小于$-9$；D. 为任意有理数。大家想想这题怎么做？
生：可以给它进行配方。
师：对，$4x^2 + 3y^2 + 8x - 12y + 7$，我们把$4x^2$和$8x$放一起，然后再加上$4$，这个$4$是从$7$拆成$4$和$3$得来的，$3y^2 - 12y$加上$3$，前面提一个$4$出来，变成$4(x^2 + 2x + 1)$，再加上$3(y^2 - 4y + 1)$。这里$x^2 + 2x + 1$一眼就能看出来是$(x + 1)^2$，而$y^2 - 4y$后面应该加个$4$，加个$4$后再减一个$4$，然后把$1$带下来，进一步写成$4(x + 1)^2 + 3(y - 2)^2 - 9$。因为任何平方都是大于等于$0$的，所以$(x + 1)^2 \geq 0$，$(y - 2)^2 \geq 0$，那么原式就会大于等于$-9$，也就是说它的值总不小于$-9$。故这道题应当选择C，大家做对了没有？
再来第三题，已知$a$，$b$是实数，$m = 10a^2 + b^2 - 7a + 8$，$n = a^2 + b^2 + 5a + 1$，比较$m$，$n$值的大小。在比较两个代数式的时候，我们通常使用什么方法呢？
生：做差法。
师：故这道题我们不妨拿$m$减去$n$，减去$n$以后，我们化简得到了$9a^2 - 12a + 7$，然后我们再给它进行配方，得到$(3a - 2)^2 + 3$。$3a - 2$括号平方已经大于等于$0$了，再加个$3$，那就说明整个$m - n$的式子肯定是大于$0$的呀。$m - n > 0$说明了什么？
生：$m$比$n$要大，即$m > n$。
师：大家又做对没有？好，再来看第4题，若关于$x$的一元二次方程$(k - 1)x^2 + x + 1 = 0$有实数根，则$k$的取值范围是什么？大家注意到这道题可是告诉你了，它是一元二次方程，所以它有实数根，要考虑哪几项呢？
生：既要考虑$\Delta \geq 0$，还要考虑一元二次方程二次项系数不为$0$，即$k - 1 \neq 0$。
师：对，我们分别解一下，$k - 1 \neq 0$解出来$k \neq 1$，$\Delta \geq 0$解出来$k \leq \frac{5}{4}$，而$1$正好是小于等于$\frac{5}{4}$里面的一个，所以我们最后的答案是$k \leq \frac{5}{4}$且$k \neq 1$，大家做对了没有？
接下来再看第5题，关于$x$的方程$(a^2 - 1)x^2 + (2a + 2)x + 1 = 0$有实数根，求$a$的取值范围。这道题和上一题有点不一样，它的二次项系数是含有字母参数的，也就是说这个方程并没有定性。刚才第四题我们是给它定性了，它一定是个一元二次方程，可是这个方程却没有，那么这道题我们要怎么办呢？
生：分情况讨论。
师：首先它如果不是一元二次方程，而是个一元一次方程呢？也就是说当$a^2 - 1 = 0$时，即$a = \pm 1$，那么原方程就变成了$4x + 1 = 0$，它有没有实数根？
生：有实数根。
师：$a = -1$可不可以呢？
生：$a = -1$时，原方程就变成$1 = 0$，不合题意，要舍去。
师：这是第一种情况。第二种情况，$a^2 - 1 \neq 0$，也就是说它是一个实实在在的一元二次方程。那么这个时候因为有实数根，所以它的$\Delta$就应该大于等于$0$。我们通过$b^2 - 4ac$进行计算，得到$(2a + 2)^2 - 4(a^2 - 1) \geq 0$，把它展开并且计算，得到$a \geq -1$。综合在一起看，$a \geq -1$且$a \neq -1$，$a = 1$都是可以的，所以综上我们可以得到$a \geq -1$的时候，方程会有实数根。这道题大家考虑全面了吗？
再来，设$x_1$，$x_2$是方程$x^2 - 2(k - 1)x + k^2 = 0$的两个实数根，且$x_1^2 + x_2^2 = 4$，求$k$的值。拿到这道题，我们应当怎么思考呢？突破口在什么地方？
生：看到$x_1^2 + x_2^2 = 4$，可以使用韦达定理，但同时要考虑$\Delta \geq 0$。
师：好，我们来看结果。解，由方程有两个实数根得到$\Delta = 4(k - 1)^2 - 4k^2 \geq 0$，进一步得到$-8k + 4 \geq 0$，解得$k \leq \frac{1}{2}$，这是有解的前提。然后我们再利用韦达定理，$x_1 + x_2 = 2(k - 1)$，$x_1 \cdot x_2 = k^2$，把$x_1^2 + x_2^2 = 4$变形为$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$，这样就等于$4(k - 1)^2 - 2k^2 = 2k^2 - 8k + 4$，而它的结果恰好就是$4$，所以得到方程$2k^2 - 8k + 4 = 4$，进一步得到$k_1 = 0$，$k_2 = 4$。做完了吗？
生：没有，还有$k \leq \frac{1}{2}$作为判断依据，$k_2 = 4$要舍去。
师：对，综上，$k_2 = 4$舍去，故$k = 0$。
最后一题，已知一元二次方程$x^2 - 3x + 1 = 0$的两个根为$x_1$，$x_2$，试求$x_1^2 + 3x_2 + x_1x_2 - 2$的值。这道题可以直接使用韦达定理吗？
生：不可以，注意到$x_1^2$，后头没有$x_2^2$与之对应，可以利用根的定义把$x_1$代入到方程当中。
师：非常好，因为$x_1$为一元二次方程的根，所以代入以后得到$x_1^2 = 3x_1 - 1$。然后再利用韦达定理，把原式拆开，拆成$x_1^2$换算成$3x_1 - 1$，就得到了$3x_1 - 1 + 3x_2 + x_1x_2 - 2$。大家看到没有，$3x_1$和$3x_2$可以提公因式变成$3(x_1 + x_2) + x_1x_2 - 3$。这个时候就可以使用韦达定理了。由韦达定理可得$x_1 + x_2 = 3$，$x_1x_2 = 1$，代入得到最后的值是$3×3 + 1 - 3$，也就是最后的值是$7$。这道题大家做对没有？
好，最后我们把这节课再总结一下，我们学习了一元二次方程的概念之后学习了它的解法。解法的目的是为了降次，一共有四种方法可以降次，分别是直接开平方、配方、公式以及因式分解法。在讲公式法的时候，我们又学习到了$\Delta$是根的判别式，对应$\Delta > 0$、$\Delta = 0$和$\Delta < 0$的情况。当$\Delta \geq 0$时，我们就得到了求根公式$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。再进一步，我们就得到了根与系数的关系，也就是韦达定理$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$。当然，用此定理的前提是$\Delta \geq 0$。
好，同学们，当我们学习完解一元二次方程之后，其实我们渗透了两个思想。第一个思想是划归思想，也就是说我们把不会的东西转化成会的东西，这就是划归。而第二个思想是模型思想，大家想一想公式法是不是就是一个模型？只要满足了它的条件就可以用模型解出它的解。最后一点，我们的运算能力得到了提高。大家想一想，我们解一元二次方程一共有几种方法？
生：$4$种方法。
师：大家的能力是否得到提高了呢？好，这节课就这样，同学们再见。