师：同学们，你们好。上一节课我们学习了一元二次方程的定义。从本节课开始，老师将带领大家一起学习一元二次方程的解法。之前我们学过一元一次方程、二元一次方程组、三元一次方程组，以及可以化为一元一次方程的分式方程，大家还记得它们是怎么求解的吗？
生：通过消元把未知数的个数降为一，最后解一元一次方程。
师：非常好。那同学们会不会想，本章学习的一元二次方程是否也能转化为一元一次方程来求解呢？如果可以，又是怎样转化的呢？所以将二次降为一次就是我们的研究方向。本节课我们来学习用配方法解一元二次方程。为了更好地学习本节课内容，我们先复习一下之前学过的平方根的概念与性质。我们知道，3 的平方等于 9， -3 的平方也等于 9，所以如果(x^2 = 9)，那么(x = ±3)。一般来说，如果一个数的平方等于(a)，那么这个数就叫做(a)的平方根。用式子表示为：若(x^2 = a)，则(x)叫做(a)的平方根。求一个数(a)的平方根的运算叫做开平方。那么平方根有哪些性质呢？
生：正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。
师：没错。我们来看问题。一桶油漆可刷的面积为 1500 平方分米，李林用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体形状的盒子的全部外表面。你能算出盒子的棱长吗？如果我们假设其中一个盒子的棱长为(x)分米，根据正方体表面积公式(6)倍棱长的平方，我们得到这个盒子的表面积为(6x^2)平方分米。因为这桶油漆恰好刷完 10 个同样的正方体，所以根据一桶油漆可刷的面积，我们列出方程(10×6x^2 = 1500)。我们在等式左右两边同时除以 60 化简得(x^2 = 25)。
生：根据平方根的意义，得到(x = ±5)，也就是(x_1 = 5)，(x_2 = -5)。
师：可以验证 5 和 -5 是方程的两个根。但因为棱长不可能是负数，所以本道题盒子的棱长为 5 分米。一般来说，对于方程(x^2 = p)，我们就可以用直接开平方法求出方程的解。当(p > 0)时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根(x_1 = - \sqrt{p})，(x_2 = \sqrt{p})；当(p = 0)时，方程有两个相等的实数根(x_1 = x_2 = 0)；当(p < 0)时，方程没有实数根。我们来看例一，用直接开平方法解下列方程：
((x + 6)^2 = 9)；
((3x - 2)^2 = 3)；
((x - 2)^2 = 0)；
((4x - 3)^2 = -9)。
这些方程和刚才的(x^2 = p)相比，底数从单项式变成了多项式，也就是变成了形如((mx + n)^2 = p)的形式。我们只要把底数看作一个整体，仍然可以用直接开平方法来求解。下面我们具体来看一下。
((x + 6)^2 = 9)，直接开平方得(x + 6 = ±3)。移项得(x = -6 + 3)或(x = -6 - 3)。也就是方程的根(x_1 = -3)，(x_2 = -9)。
((3x - 2)^2 = 3)，直接开平方得(3x - 2 = ±\sqrt{3})。移项得(3x = 2 ±\sqrt{3})，最后系数化为 1，得(x = \frac{2}{3} ±\frac{\sqrt{3}}{3})，也就是方程的根(x_1 = \frac{2 + \sqrt{3}}{3})，(x_2 = \frac{2 - \sqrt{3}}{3})。
((x - 2)^2 = 0)，此时方程的形式((mx + n)^2 = p)中(p = 0)。直接开平方得(x - 2 = ±0)，于是我们得到方程有两个相等的实数根(x_1 = x_2 = 2)。
((3x + 2)^2 = -9)，此时方程的形式为((mx + n)^2 = p)且(p < 0)，因为实数的平方不可能是负数，所以此方程无解。
(3x^2 = 9)；
(2(x - 3)^2 = 3)。
这两道题和前面的方程相比，平方项前面的系数已经不再是 1 了，那我们应该如何处理呢？
(3x^2 = 9)，因为平方项前面的系数不是 1，我们首先要把平方项前面的系数化为 1，等式左右两边同时除以平方项前面的系数 3，得到(x^2 = 3)，然后直接开平方，得(x = ±\sqrt{3})。也就是(x_1 = - \sqrt{3})，(x_2 = \sqrt{3})。
(2(x - 3)^2 = 3)，同样平方项前面的系数不为 1，所以首先我们要将系数化为 1，在等式左右两边同时除以 2，得到((x - 3)^2 = \frac{3}{2})。然后直接开平方得(x - 3 = ±\frac{\sqrt{6}}{2})。移项得(x = 3 ±\frac{\sqrt{6}}{2})，也就是方程的根(x_1 = 3 + \frac{\sqrt{6}}{2})，(x_2 = 3 - \frac{\sqrt{6}}{2})。
为了更好地学习本节课的内容，我们来复习一下完全平方公式：((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2)，((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2)。对照完全平方公式，请将下列二次三项式写成完全平方的形式。我们观察到这四小题平方项前面的系数都为 1，所以对照完全平方公式，我们只要添上一项，添上的这一项是什么呢？
生：添上一次项系数一半的平方，就可以将二次三项式写成完全平方的形式。
师：非常好。第一小题，(x^2 + 2x)，一次项系数为 2，所以我们添上一次项系数一半的平方，也就是(1^2)，等于((x + 1)^2)。第二小题，(y^2 - 6y)，一次项系数为 -6，所以我们添上一次项系数一半的平方，也就是(( - 3)^2)，等于((y - 3)^2)。第三小题，(x^2 - 5x)，一次项系数为 -5，所以我们添上一次项系数一半的平方，(( - \frac{5}{2})^2)，等于((x - \frac{5}{2})^2)。第四小题，(a^2 + a)，一次项系数为 1，所以我们添上一次项系数一半的平方，((\frac{1}{2})^2)，等于((a + \frac{1}{2})^2)。请大家记住，将二次三项式写成完全平方形式的方法，就是加上一次项系数一半的平方。我们来看新的问题，怎样解方程(x^2 + 6x + 4 = 0)呢？此时可以用直接开平方法来求解吗？
生：不可以，这里没有完全平方的形式。
师：那我们应该如何处理呢？移项得(x^2 + 6x = - 4)，等号左边留下平方项和一次项。我们可以在等式左右两边添上一次项系数一半的平方，将左边变为完全平方的形式，这样就可以应用直接开平方法来求解了。所以我们在等式左右两边同时加上(3^2)，配成完全平方形式((x + 3)^2 = 5)，然后直接开平方得(x + 3 = \sqrt{5})或(x + 3 = - \sqrt{5})，最后得到方程的解(x_1 = -3 + \sqrt{5})，(x_2 = -3 - \sqrt{5})。像刚才这样，通过配成完全平方的形式来解一元二次方程的方法叫做配方法。我们来看例 2，解下列方程：
(x^2 - 8x + 1 = 0)；
(2x^2 + 1 = 3x)；
(x^2 - 6x + 4 = 0)。
它们应该如何求解呢？我们具体来看一下。
(x^2 - 8x + 1 = 0)，首先将常数项移到等号右边，得(x^2 - 8x = -1)。然后在等式左右两边加上一次项系数一半的平方，也就是(( - 4)^2)，将左边配成完全平方的形式((x - 4)^2)，右边等于 15。然后直接开平方得(x - 4 = ±\sqrt{15})，最后得到方程的根(x_1 = 4 + \sqrt{15})，(x_2 = 4 - \sqrt{15})。
(2x^2 + 1 = 3x)，首先移项得(2x^2 - 3x = -1)。此时发现二次项系数不为 1，所以还要做一步变换，等式左右两边同时除以二次项系数 2，将二次项系数化为 1，得(x^2 - \frac{3}{2}x = - \frac{1}{2})。接着在等式左右两边添上一次项系数一半的平方，也就是(( - \frac{3}{4})^2)，将左边配成完全平方的形式((x - \frac{3}{4})^2 = \frac{1}{16})。然后直接开平方得(x - \frac{3}{4} = ±\frac{1}{4})，最后得到方程的解(x_1 = 1)，(x_2 = \frac{1}{2})。
(3x^2 - 6x + 4 = 0)，首先移项得(3x^2 - 6x = -4)。因为二次项系数不为 1，所以等式左右两边同时除以 3，将二次项系数化为 1，得(x^2 - 2x = - \frac{4}{3})。在等式左右两边添上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方形式((x - 1)^2 = - \frac{1}{3})。因为实数的平方不会是负数，所以方程无解。
我们来总结一下，对于任意的一元二次方程，用配方法解题的一般步骤为：
先化为一般形式(ax^2 + bx + c = 0)，(a ≠ 0)；
将常数项移到等式右边；
两边同除以二次项系数，把二次项系数化为 1；
方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
将等式左边化成完全平方式，变为((x + n)^2 = p)的形式；
根据(p)的取值，用直接开平方法求出方程的解。
练习一，解下列方程，请同学们按下电脑暂停键，拿出笔和草稿本，自己动笔计算一下下列方程。
(x^2 - 10x - 11 = 0)，移项得(x^2 - 10x = 11)。然后在等式左右两边同时加上一次项系数一半的平方(( - 5)^2)，将左边配成完全平方式((x - 5)^2 = 36)，直接开平方得(x - 5 = ±6)，最后得到方程的解(x_1 = 11)，(x_2 = -1)。
(2x^2 - 6x + 19 = 0)，首先移项得(2x^2 - 6x = -19)，将二次项系数化为 1，得(x^2 - 3x = - \frac{19}{2})。两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式((x - \frac{3}{2})^2 = - \frac{29}{4})。因为实数的平方不会是负数，所以此方程无解。
(\frac{1}{4}x^2 - x - 4 = 0)，移项得(\frac{1}{4}x^2 - x = 4)，将二次项系数化为 1，等式左右两边同乘以 4 得到(x^2 - 4x = 16)，两边同时加上一次项系数一半的平方(( - 2)^2)，将左边化为完全平方式((x - 2)^2 = 20)，然后直接开平方得(x - 2 = ±2\sqrt{5})，所以(x_1 = 2 + 2\sqrt{5})，(x_2 = 2 - 2\sqrt{5})。
(3(x - 1)(x + 2) = x - 7)，去括号得(3x^2 + 3x - 6 = x - 7)。移项合并同类项得(3x^2 + 2x = -1)。因为二次项系数不为 1，所以等式左右两边同时除以 3，将二次项系数化为 1，得(x^2 + \frac{2}{3}x = - \frac{1}{3})。两边同时添上一次项系数一半的平方，将左边变成完全平方式((x + \frac{1}{3})^2 = - \frac{2}{9})。因为实数的平方不会是负数，所以此方程无解。
同学们，你们做对了吗？例 3，证明：无论(x)为何值时，代数式(2x^2 - 4x + 5)的值恒大于 0。我们观察一下这个二次三项式，它能不能配成完全平方形式，如果可以我们就能证出它的值恒大于 0 了，我们一起来试试看吧。我们首先对二次项和一次项提取二次项系数 2，并添上括号，原式等于(2(x^2 - 2x) + 5)。我们看到括号内的平方项和一次项，对它添上一次项系数一半的平方(1^2)。提醒大家注意的是，括号内加了(1^2)，括号外一定要做相应的变化，保证原式的值不变。这样括号内就配成了完全平方式((x - 1)^2)，所以原式可以写为(2(x - 1)^2 + 3)。因为((x - 1)^2 ≥ 0)恒成立，所以(2(x - 1)^2 + 3 > 0)一定恒成立，也就是代数式(2x^2 - 4x + 5)的值恒大于 0。
我们再回头看一下题目的过程，老师提醒大家注意，在二次三项式配方时，需对二次项与一次项提取二次项系数并添上括号。为了保证原式的值不变，配方时加了多少，括号外一定要做相应的变化。练习二，说明无论(a)取何值时，方程((a^2 - 4a + 5)x^2 + 7x + 6 = 0)是关于(x)的一元二次方程，请同学们按下电脑暂停键，拿出纸和笔，动笔计算一下吧。
同学们，你们做好了吗？我们一起来核对一下过程以及答案吧。我们知道满足下列三个条件的方程是一元二次方程：
方程两边都是整式；
方程中只含有一个未知数；
未知数的最高次数为 2。
显然本道题目是满足第一条和第二条的。那么怎样保证未知数的最高次数是 2 呢？只要(x^2)前面的系数(a^2 - 4a + 5 ≠ 0)，我们就可以保证未知数的最高次数为 2 了。所以对于(a^2 - 4a + 5)这个二次三项式，我们来给它配方看一下。(a^2 - 4a)，我们可以添上一次项系数一半的平方，也就是(( - 2)^2)。括号内添上(( - 2)^2)，记住括号外一定要做相应的变换，减去(( - 2)^2)，保证原式的值不变，所以原式化简为((a - 2)^2 + 1)。因为((a - 2)^2 ≥ 0)，所以((a - 2)^2 + 1)一定不会等于 0。所以方程是关于(x)的一元二次方程，同学们，你们做对了吗？
我们来回顾一下本节课学习的内容，对于任意的一元二次方程，用配方法解题的一般步骤为：
先化为一般形式(ax^2 + bx + c = 0)，(a ≠ 0)；
将常数项移到等式右边；
两边同除以二次项系数，把二次项系数化为 1；
方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
将等式左边化成完全平方式，变为((x + n)^2 = p)的形式；
根据(p)的取值，用直接开平方法求出方程的解。
如果一个一元二次方程通过配方法已经转化为((x + n)^2 = p)的形式，那么就有：
当(p > 0)时，方程有两个不相等的实数根(x_1 = -n - \sqrt{p})，(x_2 = -n + \sqrt{p})；
当(p = 0)时，方程有两个相等的实数根(x_1 = x_2 = -n)；
当(p < 0)时，方程没有实数根。
我们来布置一下本节课的作业，今天的课就上到这里。