师：同学们，大家好。今天我们一起学习用公式法解一元二次方程。先回顾一下，之前学习了哪些解一元二次方程的方法？
生：直接开平方法和配方法。
师：对。配方法是把方程转化为直接开平方法的形式，这两种方法都是要将方程化为((x + n)^2 = p)的形式，其中(n)和(p)为常数。现在请同学们用配方法解一元二次方程(2x^2 + 3 = 7x)。根据以往经验，用配方法解一元二次方程有哪些步骤呢？
生：第一步移项，把含未知数的项放等号左边，不含未知数的项放等号右边。
师：很好。这里移项后得到(2x^2 - 7x = -3)。那第二步呢？
生：将二次项系数化为(1)。
师：没错。二次项系数是(2)，利用等式基本性质，在方程两边同时除以(2)，方程化为(x^2 - \frac{7}{2}x = -\frac{3}{2}) 。第三步呢？
生：配方，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
师：这里一次项系数是(-\frac{7}{2})，所以在等号两边同时加上((-\frac{7}{4})^2) ，方程左边可写成完全平方形式，右边通过分数运算得到(\frac{25}{16})，也就是((x - \frac{7}{4})^2 = \frac{25}{16})。第四步呢？
生：开方，把一元二次方程通过开方降次，化为两个一元一次方程。
师：对，得到(x - \frac{7}{4} = ±\frac{5}{4}) 。最后一步？
生：求解一元一次方程，可得方程的解(x_1 = 3)，(x_2 = \frac{1}{2})。
师：我们用配方法解一元二次方程，就是通过配方将方程转化为可直接开方的形式。一元二次方程的一般形式是(ax^2 + bx + c = 0)（(a ≠ 0)），大家能用配方法解这个方程吗？我们一起来试试。由前面解数字系数的一元二次方程的经验，第一步做什么？
生：移项。
师：这里常数项是(c)，将(c)移到等号右边变为(-c)，得到(ax^2 + bx = -c)。第二步呢？
生：将二次项系数化为(1) 。
师：因为(a ≠ 0)，根据等式基本性质，在等号两边同时除以(a)，方程化为(x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}) 。第三步配方，等号左边加上多少可变成完全平方形式呢？
生：加上一次项系数一半的平方。
师：这里一次项系数是(\frac{b}{a})，所以在方程两边同时加上((\frac{b}{2a})^2) 。等号左边写成完全平方形式((x + \frac{b}{2a})^2)，等号右边利用分式加减运算合并成(\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}) 。第五步开方，等号右边这个分式能直接开方吗？我们观察一下，方程的解与等号右边式子的取值有关。下面一起讨论一下这个分式的取值有几种情况。由题意(a ≠ 0)，则分母(4a^2 > 0)恒成立。当分式分子(b^2 - 4ac > 0)时，分式值怎样？
生：分式值大于(0) 。
师：对。第二种情况，如果(b^2 - 4ac = 0)，分式值呢？
生：分式值为(0) 。
师：很好。第三种情况，当(b^2 - 4ac < 0)时，分式值呢？
生：分式值小于(0) 。
师：下面我们从这三个方面讨论一元二次方程(ax^2 + bx + c = 0)（(a ≠ 0)）根的情况。先看第一种情况，当(b^2 - 4ac > 0)时，等号右边值大于(0)，方程两边同时开方运算，可得(x + \frac{b}{2a} = ±\sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}})。再利用商的算术平方根性质，化为(±\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{\sqrt{4a^2}})。根据(\sqrt{a^2} = |a|)性质，分母变为(±\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2|a|})。因为式子前面已有双重符号，(|a|)取值不影响结果，式子可化为(±\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})。再通过移项、分式加减法则求出方程的解(x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})，(x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}) 。
再来看第二种情况，当分式分子为(0)，即(b^2 - 4ac = 0)时，整个分式值为(0)，可得((x + \frac{b}{2a})^2 = 0)，这时(x_1)与(x_2)怎样？
生：(x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}) 。
师：对。最后看第三种情况，当分式分子值小于(0)，即(b^2 - 4ac < 0)时，分式值小于(0)，可得((x + \frac{b}{2a})^2 < 0)，这时方程怎样？
生：方程没有实数根。
师：下面归纳一下这三种情况。对于一元二次方程(ax^2 + bx + c = 0)（(a ≠ 0)），当(b^2 - 4ac ≥ 0)时，方程的解可归纳为(x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})，这个式子叫一元二次方程的求根公式。利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。在推导公式过程中，发现方程的根与(b^2 - 4ac)密切相关，所以把(b^2 - 4ac)叫做一元二次方程(ax^2 + bx + c = 0)（(a ≠ 0)）根的判别式，通常用符号(\Delta)表示，即(\Delta = b^2 - 4ac) 。
所以可以归纳出：当(\Delta > 0)时，方程根的情况是有两个不相等的实数根；当(\Delta = 0)时，一元二次方程有两个相等的实数根；当(\Delta < 0)时，一元二次方程没有实数根，反过来同样成立。
下面我们用公式法解一元二次方程。例一，解方程(x^2 - 4x - 7 = 0)。用公式法解一元二次方程，首先要做什么？
生：准确找出方程中各项的系数。
师：对，将二次项系数、一次项系数、常数项分别用(a)、(b)、(c)表示。此方程中，二次项系数(a)等于多少？
生：(a = 1)。
师：一次项系数(b)呢？
生：(b = -4)。
师：常数项(c)呢？
生：(c = -7)。
师：将(a)、(b)、(c)代入根的判别式(b^2 - 4ac)中计算，结果是多少？
生：(b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×1×(-7) = 16 + 28 = 44)，大于(0)，所以方程有两个不相等的实数根。
师：接下来由求根公式(x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})，将各项系数代入公式，求方程的解。
生：(x_1 = \frac{4 + \sqrt{44}}{2} = 2 + \sqrt{11})，(x_2 = \frac{4 - \sqrt{44}}{2} = 2 - \sqrt{11})。
师：下面学习例二，解方程(4x^2 + 1 = 4x)。这里二次项系数、一次项系数和常数项分别是多少呢？求根公式是由一元二次方程一般形式推导出来的，所以各项系数要在一般形式下确定。我们先把这个方程整理成一般形式。
生：(4x^2 - 4x + 1 = 0)。
师：这里二次项系数是多少？
生：(a = 4)。
师：一次项系数呢？
生：(b = -4)。
师：常数项呢？
生：(c = 1)。
师：先用根的判别式算出(b^2 - 4ac)的值。
生：(b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×4×1 = 16 - 16 = 0)，因此方程有两个相等的实数根。
师：最后代入求根公式，求方程的解。
生：(x_1 = x_2 = \frac{-(-4) ± \sqrt{0}}{2×4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2})。
师：再来看第三个例题，解方程(x^2 + 17 = 8x)。用例二的方法，先将方程化为一般形式。
生：(x^2 - 8x + 17 = 0)。
师：确定二次项系数、一次项系数和常数项。
生：二次项系数(a = 1)，一次项系数(b = -8)，常数项(c = 17)。
师：代入根的判别式(b^2 - 4ac)中计算。
生：(b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4×1×17 = 64 - 68 = -4)，小于(0)，所以方程没有实数根。
师：学习了三个例题后，归纳一下用公式法解一元二次方程的一般步骤。第一步做什么？
生：将所给方程化为一般形式。
师：第二步呢？
生：定系数，用(a)、(b)、(c)写出各项系数。
师：第三步？
生：将(a)、(b)、(c)代入根的判别式，求出(b^2 - 4ac)的值。
师：第四步？
生：判断，如果(b^2 - 4ac ≥ 0)，就利用求根公式求出方程的解；若(b^2 - 4ac < 0)，则方程没有实数根，最后求出方程的根。
师：下面同学们试着用本节课所学的公式法来解本节开始用配方法解的一元二次方程(2x^2 + 3 = 7x)。
生：第一步，将方程化为一般形式(2x^2 - 7x + 3 = 0)，这里(a = 2)，(b = -7)，(c = 3)。利用根的判别式求出(b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4×2×3 = 49 - 24 = 25)，大于(0)，所以用求根公式代入系数求出方程两个不相等的实数根(x_1 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2×2} = 3)，(x_2 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2×2} = \frac{1}{2})。
师：请同学们对比一下这两种解方程的方法，发现了什么？
生：求根公式是由配方法推导出来的，用公式法解一元二次方程省略了配方过程，操作简单，是解所有一元二次方程的通法。
师：下面请同学们拿出纸和笔，不解方程，判断下列方程根的情况。做完了吗？我们来看第一题，将方程化为一般形式(2x^2 - 7x + 5 = 0)，这里(a = 2)，(b = -7)，(c = 5)。代入计算，(b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4×2×5 = 49 - 40 = 9)，大于(0)，因此方程有两个不相等的实数根。
第二个方程化为一般形式可得(4x^2 - 4x + 3 = 0)。因为(a = 4)，(b = -4)，(c = 3)。代入根的判别式中，求出(b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×4×3 = 16 - 48 = -32)，小于(0)，因此方程无实数根。第三个方程，将第三个方程化为一般形式可得(4y^2 - 2.4y + 0.36 = 0)。因为(a = 4)，(b = -2.4)，(c = 0.36)。代入各项系数，计算出(b^2 - 4ac = (-2.4)^2 - 4×4×0.36 = 5.76 - 5.76 = 0)，因此方程有两个相等的实数根。做对了吗？
下面我们一起巩固用公式法解一元二次方程。请同学们在纸上解下列(4)个一元二次方程。做完了吗？我们一起对一下解题过程。第一题，方程已经是一元二次方程的一般形式，所以(a = 2)，(b = -9)，(c = 8)。代入根的判别式中求出(b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4×2×8 = 81 - 64 = 17)，大于(0)，再由求根公式(x = \frac{-b ± \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})求出方程的两根(x_1 = \frac{9 + \sqrt{17}}{4})，(x_2 = \frac{9 - \sqrt{17}}{4})。下面学习第二题。
方程已经是一元二次方程的一般形式，这里(a = 9)，(b = 6)，(c = 1)。代入根的判别式(b^2 - 4ac)中计算出结果等于(6^2 - 4×9×1 = 36 - 36 = 0)。所以这个一元二次方程有两个相等的实数根，(x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2×9} = -\frac{1}{3})。接下来第三题，第(3)题所给的一元二次方程不是方程的一般形式。所以将方程化为一般形式可得(16x^2 + 8x - 3 = 0)。这里二次项系数为(16)，一次项系数为(8)，常数项为(-3)。将各项系数代入根的判别式中计算，可得(8^2 - 4×16×(-3) = 64 + 192 = 256)，大于(0)。所以用求根公式求出方程两个不相等的实数根(x_1 = \frac{-8 + \sqrt{256}}{2×16} = \frac{-8 + 16}{32} = \frac{1}{4})，(x_2 = \frac{-8 - \sqrt{256}}{2×16} = \frac{-8 - 16}{32} = -\frac{3}{4})。
最后看第(4)题。首先将第(4)题方程化为一般形式，可得(x^2 - 3x + 5 = 0)，这里二次项系数(a = 1)，一次项系数(b = -3)，常数项(c = 5)。代入根的判别式中计算(b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4×1×5 = 9 - 20 = -11)，小于(0)，所以此方程无实数根。
同学们，做对了吗？通过今天的学习，有哪些收获呢？本节课我们在学习用配方法解一元二次方程一般形式的基础上，推导出了一元二次方程的求根公式，并且知道一元二次方程的根与根的判别式密切相关。在用公式法时，一定要先将方程化为一般形式，再按求解一元二次方程的一般步骤求出方程的解。本节课就上到这里，同学们再见。