师：亲爱的同学，大家好，欢迎来到数学课堂。今天我们学习初中数学北师大版九年级下册第一章第一节锐角三角函数第一课时。
生活中，梯子随处可见，比如靠在墙上的梯子、楼梯、登山用的梯子、云梯等。有的梯子比较陡，有的则相对平缓，“陡”意味着倾斜程度大。那么，该如何刻画梯子的倾斜程度呢？我们先来了解相关概念：从梯子顶端到墙角的距离称为梯子的铅直高度；从梯子底端到墙角的距离称为梯子的水平宽度；梯子与地面的夹角称为梯子的倾斜角。梯子的铅直高度、水平宽度构成直角三角形ABC。
如图，梯子AB的倾斜角为∠1，梯子EF的倾斜角为∠2。根据三角形的一个外角大于它任何一个不相邻的内角，可知∠2＞∠1。观察图形能发现，梯子EF更陡。由此可得，倾斜角越大，梯子越陡。
请观察下列各图，分别比较梯子AB和EF哪个更陡？有哪些方法呢？
首先比较倾斜角。图1与图2中，可以直观发现梯子EF的倾斜角大，所以梯子EF更陡。但图3中，很难直观判断哪个梯子的倾斜角大，也就无法根据倾斜角比较哪个梯子更陡。
接着看第二种方法——比较铅直高度与水平宽度。图1中，两个梯子的铅直高度相等，而梯子EF的水平宽度小，所以梯子EF的铅直高度与水平宽度的比大，梯子EF更陡。图2中，两个梯子的水平宽度相等，而梯子EF的铅直高度大，所以梯子EF的铅直高度与水平宽度的比也大，梯子EF更陡。图3中，两个梯子的铅直高度与水平宽度的比相等，且铅直高度与水平宽度的夹角也相等，所以Rt△ABC相似于Rt△EFD，所以∠B = ∠F，即两个梯子的倾斜角相等，两个梯子一样陡。由此可得，铅直高度与水平宽度的比越大，梯子越陡。铅直高度即倾斜角的对边，水平宽度即倾斜角的邻边，所以一个锐角的对边与邻边的比越大，梯子越陡。
如图，墙上靠有一个梯子。小明想通过测量B?C?以及AC?的长度，计算B?C?与AC?的比值来说明梯子的倾斜程度。小亮认为测量B?C?时会很危险，不如在AB?上取一点B?，过点B?作B?C?垂直于AC?，通过测量B?C?以及AC?的长度，计算B?C?与AC?的比值来说明梯子的倾斜程度。
请问小亮说的有道理吗？我们一起来看：因为B?C?也垂直于AC?，根据在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可得B?C?平行于B?C?。由两直线平行可得三角形相似，根据三角形相似可得对应边成比例。下面看小亮详细的梳理过程：
在AB?上取一点B?，过点B?做B?C?垂直于AC?于C?。因为B?C?垂直于AC?，所以B?C?平行于B?C?，所以Rt△AB?C?相似于Rt△AB?C?，所以B?C?∶AC? = B?C?∶AC?。可见小亮说的有道理。
追问：如果改变B?在梯子上的位置，能得出什么结论呢？想象一下，将B?改变到任意位置，如B?，过点B?作B?C?垂直于AC?。同理可证，Rt△AB?C?相似于Rt△AB?C?，所以B?C?∶AC? = B?C?∶AC?。又因为∠A为公共角，所以∠A不变，∠A的对边与邻边的比值也不变。由此可得，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A = ∠A的对边∶∠A的邻边。
我们再来研究一下正切定义，可见条件是直角三角形，结论是对边比邻边。还会发现，tan A的大小只与∠A的大小有关，与直角三角形的边长无关。
请根据正切的定义判断下列各题的真假：
第一题，如图1，tan A = BC∶AC，图1中三角形ABC不是直角三角形，所以错误。
第二题，如图2，tan A = AC∶BC，图2中三角形ABC是直角三角形，∠C = 90°，这里是邻边比对边，不符合正切定义，所以错误。
第三题，如图2，tan A = BC∶AB，BC是∠A的对边，而AB是斜边，出现对边比斜边的结构，不符合正切定义，所以错误。
第四题，如图2，tan β = 10∶7，根据正切定义可知，tan β = AC∶BC = 10∶7，所以正确。
定义告诉我们，在Rt△ABC中，锐角A确定，tan A的值也随之确定。请问当锐角A变化时，tan A的值是否随之变化？如果变化，随锐角A如何变化？请做一个小试验：把书的拐角当作墙角，把笔当作梯子，缓慢移动笔，观察倾斜角、铅直高度、水平宽度分别如何变化，进一步探究tan A随锐角A的变化规律。
我们一起来观察梯子的移动：可见梯子在移动过程中，倾斜角逐渐变大，铅直高度逐渐变大，水平宽度逐渐变小，所以铅直高度与水平宽度的比也变大，即tan A的值逐渐变大。所以当锐角A变化时，tan A的值也随之变化。当锐角A变大时，tan A的值也随之变大。所以我们也能用tan A的值来刻画梯子的倾斜程度，即tan A的值越大，梯子越陡。
请问tan A是锐角A的函数吗？我们再来研究梯子的移动：可见梯子在移动过程中，每移动到一个位置，就对应一个倾斜角A，此时对应着唯一的铅直高度和水平宽度，所以铅直高度与水平宽度的比也唯一确定，即tan A的值唯一确定。可见在A变化的过程中，tan A随锐角A的变化而变化，且锐角A每取一个值，tan A都有唯一的值与之对应，所以tan A是锐角A的函数。
因为∠A是直角三角形中的一个锐角，所以我们称tan A是锐角A的一个三角函数。请结合正切定义的形成过程以及前面问题的探究过程，理解掌握以下几点：
tan A是锐角A的一个三角函数。
它是在直角三角形中定义的，∠A是锐角，解题时注意数形结合，构造直角三角形。
tan A是一个比值，注意比的顺序，且tan A＞0，无单位。
tan A的大小只与∠A的大小有关，而与直角三角形的边长无关。
tan A是一个完整的符号，表示∠A的正切，习惯省去角的符号，但像它的余角∠ABC，这里角的符号不能省略。
下面请看例题：如图表示两个自动扶梯，tanα和tanβ的值分别是多少？能判断哪一个自动扶梯比较陡吗？请认真观察图形，从图形中获取条件解答本题。