师：同学们好，今天我们来学习初中数学北师大版九年级下册第二章第二节二次函数的图像与性质第三课时。首先，我们来看问题一：二次函数(y = ax^2 + c)的性质。同学们先思考一下，之后我们共同完成表格，梳理二次函数(y = ax^2 + c)图像与性质。
当(a > 0)时，二次函数(y = ax^2 + c)图像开口向上，对称轴是直线(x = 0)，顶点坐标为((0, c))。当(x < 0)时，(y)随(x)的增大而减小；当(x > 0)时，(y)随(x)的增大而增大。当(x = 0)时，(y)有最小值，最小值是(c)。
当(a < 0)时，二次函数(y = ax^2 + c)开口方向向下，对称轴是直线(x = 0)，顶点坐标为((0, c))。当(x > 0)时，(y)随(x)的增大而减小；当(x < 0)时，(y)随(x)的增大而增大。当(x = 0)时，(y)有最大值，最大值是(c)。
对于二次函数(y = ax^2 + c)的性质，同学们已经掌握了。接下来，我们进行问题二的学习：二次函数(y = ax^2 + c)图像与(y = ax^2)的图像有什么关系？
生：二次函数(y = ax^2 + c)图像可以由(y = ax^2)的图像平移得到，平移规律是“上加下减”。
师：很好。我们知道二次函数(y = ax^2 + c)图像可以由(y = ax^2)的图像平移得到。那么问题三，二次函数(y = a(x - h)^2)的图像能否也由(y = ax^2)的图像平移得到呢？
生：应该可以。
师：我们猜测二次函数(y = a(x - h)^2)的图像在同一坐标系中可以由(y = ax^2)的图像平移得到。接下来我们一起探究这个问题。大家看例一，画出二次函数(y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2)与(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)的图像，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点。
我们通过列表、描点、连线，在同一坐标系中画出二次函数(y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2)与(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)的图像，同时把(y = -\frac{1}{2}x^2)的图像也画在这个坐标系中。观察所画的图像，完成表格。
生：(y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2)的图像开口向下，对称轴是直线(x = -1)，顶点坐标为(( -1, 0))；(y = -\frac{1}{2}x^2)的图像开口向下，对称轴是直线(x = 0)，顶点坐标为((0, 0))；(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)的图像开口方向向下，对称轴是直线(x = 1)，顶点坐标为((1, 0))。
师：通过对特殊函数(y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2)与(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)开口方向、对称轴、顶点坐标的分析，我们类似地可以总结出二次函数(y = a(x - h)^2)的下列性质。
当(a > 0)时，二次函数(y = a(x - h)^2)开口向上，对称轴是直线(x = h)，顶点坐标为((h, 0))。当(x = h)时，(y)有最小值(0)。当(x < h)时，(y)随(x)的增大而减小；当(x > h)时，(y)随(x)的增大而增大。
当(a < 0)时，二次函数(y = a(x - h)^2)的图像开口方向向下，对称轴是直线(x = h)，顶点坐标为((h, 0))。当(x = h)时，(y)有最大值(0)。当(x > h)时，(y)随(x)的增大而减小；当(x < h)时，(y)随(x)的增大而增大。
知道了二次函数(y = a(x - h)^2)的性质后，我们一起来探究二次函数(y = ax^2)的图像与(y = a(x - h)^2)的图像关系。想一想，二次函数(y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2)和(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)的图像与二次函数(y = -\frac{1}{2}x^2)的图像有什么关系？
生：把(y = -\frac{1}{2}x^2)的图像向左平移一个单位可以得到(y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2)的图像，把(y = -\frac{1}{2}x^2)的图像向右平移一个单位，可以得到(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)的图像。
师：对，我们知道把(y = -\frac{1}{2}x^2)的图像进行左右平移，就可以得到(y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2)与(y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2)的图像。那么二次函数(y = a(x - h)^2)的图像与(y = ax^2)的图像有什么关系？
生：(y = ax^2)的图像向右平移(\vert h \vert)个单位时，可以得到(y = a(x - h)^2)的图像；把(y = ax^2)图像向左平移(\vert h \vert)个单位时，就可以得到(y = a(x + h)^2)的图像，平移规律是“括号内左加右减，括号外不变”。
师：通过探索得知二次函数(y = a(x - h)^2)的图像可以由(y = ax^2)的图像通过左右平移得到。同学们思考一下，二次函数(y = a(x - h)^2 + k)的图像与性质是什么呢？
第一题，画出函数(y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1)的图像，指出它的开口方向、顶点、对称轴与增减性。如何完成这个问题呢？
生：我们先画函数图像，通过列表、描点、连线，画出(y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1)的图像。观察图像，可得二次函数(y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1)的开口方向向下，对称轴是直线(x = -1)，顶点坐标是(( -1, -1))。当(x < -1)时，(y)随(x)的增大而增大；当(x > -1)时，(y)随(x)的增大而减小。
师：很好，接下来我们试一试第二题，画出函数(y = 2(x + 1)^2 - 2)的图像，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点及增减性。
生：用同样的方法得到二次函数(y = 2(x + 1)^2 - 2)的图像。观察图像可知，(y = 2(x + 1)^2 - 2)的图像开口方向向上，对称轴是直线(x = -1)，顶点坐标是(( -1, -2))。当(x < -1)时，(y)随(x)的增大而减小；当(x > -1)时，(y)随(x)的增大而增大。
师：同学们，我们一起来总结一下(y = a(x - h)^2 + k)的性质。
二次函数(y = a(x - h)^2 + k)，当(a > 0)时，图像开口方向向上，对称轴是直线(x = h)，顶点坐标为((h, k))。当(x = h)时，(y)有最小值(k)。当(x < h)时，(y)随(x)的增大而减小；当(x > h)时，(y)随(x)的增大而增大。
当(a < 0)时，二次函数(y = a(x - h)^2 + k)的图像开口方向向下，对称轴是直线(x = h)，顶点坐标为((h, k))。当(x = h)时，(y)有最大值(k)。当(x > h)时，(y)随(x)的增大而减小；当(x < h)时，(y)随(x)的增大而增大。
知道了二次函数(y = a(x - h)^2 + k)的性质，那么二次函数(y = a(x - h)^2 + k)的图像与(y = ax^2)的图像有什么关系呢？
探究四，怎样移动抛物线(y = -\frac{1}{2}x^2)，就可以得到抛物线(y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1)？
生：平移方法一，把(y = -\frac{1}{2}x^2)的图像向下平移一个单位，可以得到(y = -\frac{1}{2}x^2 - 1)的图像；把(y = -\frac{1}{2}x^2 - 1)的图像向左平移一个单位，就可以得到(y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1)的图像。
平移方法二，把(y = -\frac{1}{2}x^2)的图像向左平移一个单位，可以得到(y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2)的图像；把(y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2)的图像向下平移一个单位，就可以得到(y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1)的图像。
师：对，我们知道了把(y = -\frac{1}{2}x^2)的图像平移，就可以得到(y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 - 1)的图像。那么二次函数(y = a(x - h)^2 + k)的图像与(y = ax^2)的图像有什么关系呢？
平移方法一，把(y = ax^2)的图像向上平移(k)个单位（(k > 0)），可以得到(y = ax^2 + k)的图像；把(y = ax^2 + k)的图像向右平移(h)个单位（(h > 0)），可以得到(y = a(x - h)^2 + k)的图像。
平移方法二，把(y = ax^2)的图像向右平移(h)个单位（(h > 0)），可以得到(y = a(x - h)^2)的图像；把(y = a(x - h)^2)的图像向上平移(k)个单位（(k > 0)），就可以得到(y = a(x - h)^2 + k)的图像。
好，这节课的知识点就整理到这里，接下来我们看一下典例精析。
例一，若点(A(1, y_1))，点(B(2, y_2))在抛物线(y = -2(x + 1)^2 + k)的图像上，则(y_1)、(y_2)的大小关系是？
生：抛物线(y = -2(x + 1)^2 + k)的图像开口方向向下，对称轴是直线(x = -1)。当(x > -1)时，(y)随(x)的增大而减小。点(A(1, y_1))、点(B(2, y_2))均在对称轴直线(x = -1)的右侧，所以(y_2 < y_1)。
师：非常好。我们接下来看例二，抛物线(y = ax^2)向右平移三个单位后，经过点(( -1, 16))，求(a)的值和平移后的函数关系式。
生：二次函数(y = ax^2)的图像向右平移三个单位后，可以得到的二次函数关系式的表达式为(y = a(x - 3)^2)。因为平移后的抛物线经过(( -1, 16))，所以把(x = -1)，(y = 16)代入到(y = a(x - 3)^2)中，可以得到(16 = a(-1 - 3)^2)，解得(a = 1)。因此，平移后的函数关系式是(y = (x - 3)^2)。
师：对于这一题没有疑问了吧。
例三，已知二次函数(y = a(x - 1)^2 - 4)的图像经过点((3, 0))。
求(a)的值。
写出该二次函数的顶点坐标、开口方向及最值。
生：
因为二次函数(y = a(x - 1)^2 - 4)的图像经过点((3, 0))，所以把(x = 3)，(y = 0)代入到关系式中，可得(0 = a(3 - 1)^2 - 4)，解得(a = 1)。
二次函数(y = (x - 1)^2 - 4)的顶点坐标是((1, -4))。因为(a = 1 > 0)，所以抛物线开口方向向上。当(x = 1)时，(y)有最小值，(y_{最小} = -4)。
师：同学们没有疑问，我们进行下一个环节，当堂练习。
完成下列表格：
二次函数(y = 2(x + 3)^2)的图像开口方向向上，对称轴直线(x = -3)，顶点坐标(( -3, 0))。
二次函数(y = -3(x - 1)^2 - 2)的图像开口方向向下，对称轴直线(x = 1)，顶点坐标((1, -2))。
二次函数(y = 4(x - 3)^2 + 7)的图像开口方向向上，对称轴直线(x = 3)，顶点坐标((3, 7))。
根据刚才学过的知识点，表格填写很简单。来进行下一题。
把抛物线(y = -x^2)沿着(x)轴方向平移(3)个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是？
生：沿着(x)轴方向平移三个单位长度分两种情况讨论，一种是向左平移(3)个单位，另一种是向右平移三个单位长度。于是平移后抛物线的解析式是(y = -(x + 3)^2)或(y = -(x - 3)^2)。
师：这一题没有疑问，我们进行下一题。
抛物线(y = -3x^2 + 2)的图像向右平移两个单位，再向下平移一个单位，得到抛物线的解析式为？
生：根据“左加右减、上加下减”的规律，即可得到平移后抛物线的解析式为(y = -3(x - 2)^2 + 1)。
师：我们继续。
抛物线(y = 2x^2)不动，把(x)轴、(y)轴分别向上、向左平移三个单位，则在新坐标系下，此抛物线的解析式为？
生：根据运动的相对性，新的解析式是把抛物线(y = 2x^2)向右平移(3)个单位，再向下平移(3)个单位，即可以得到在新坐标系下，此抛物线的解析式为(y = 2(x - 3)^2 - 3)。
师：同学们掌握了这一题的答案后，我们继续。
已知(y = (x - 3)^2 - 2)的部分图像如图所示，抛物线与(x)轴交点的一个坐标是((1, 0))，则另一个交点的坐标是？
生：(y = (x - 3)^2 - 2)的对称轴是直线(x = 3)，图像与(x)轴交点的一个坐标是((1, 0))，于是另一个交点的坐标是((5, 0))。
师：同学们想一想，这节课我们学到了什么？
生：这节课我们学习了二次函数(y = a(x - h)^2)和(y = a(x - h)^2 + k)的图像和性质。图像特点，当(a > 0)时开口向上，当(a < 0)时开口向下。对称轴是直线(x = h)，顶点坐标是((h, k))。平移规律，左右平移，“括号内左加右减”；上下平移，“括号外加下减”。一般的抛物线(y = a(x - h)^2)和抛物线(y = a(x - h)^2 + k)与(y = ax^2)形状相同，只是位置不同。
师：好，看一下这节课的作业。
必做题：教材习题(2.4)中第一题的(1)、(3)、(5)小题和第三题。
选做题：已知抛物线(y = a(x + 2)^2)过点((1, -3))。
求抛物线的(a)的表达式。
写出抛物线的对称轴及顶点坐标。
当(x)为何值时，(y)随(x)的增大而增大。
同学们，愉快的时光总是过得很快，请课下认真完成作业，再见。