师：同学们好，今天我们一起学习初中数学北师大版九年级下册第二单元的第三节确定二次函数的表达式第二课时。上节课我们已经学习了利用一元一次方程、二元一次方程组来确定二次函数的表达式，下面我们通过练习回顾一下。
第一题，过点(2, 4)，且当 x 等于 1 时，y 有最值为 6，则其表达式是什么。同学们，先看这句话，“当 x 等于 1 时，y 有最值为 6”，这意味着顶点坐标是(1, 6)。知道顶点坐标，想求函数表达式，我们可以设所求表达式为顶点式，设 y = a(x - 1)2 + 6。再将(2, 4)代入我们设的表达式，可求得 a = -2。所以所求表达式为 y = -2(x - 1)2 + 6。
第 2 题，已知抛物线 y = ax2 - 2x + c 过点(0, 4)和(-1, 5)，则二次函数表达式是什么。已知函数表达式中一次项系数，所以将(0, 4)和(-1, 5)代入，就可得到关于 a、c 的二元一次方程组。先将(0, 4)代入 y = ax2 - 2x + c 可得 4 = c。再将(-1, 5)代入 y = ax2 - 2x + c，5 = a + 2 + c 。解这个二元一次方程组可得 a = -1，c = 4。所以二次函数表达式为 y = -x2 - 2x + 4。相信同学们掌握得不错。
也就是说，题目已知顶点坐标，我们设出顶点式 y = a(x - h)2 + k（a ≠ 0），再加一个条件就可以确定表达式；题目已知一项的系数，我们设出一般式 y = ax2 + bx + c（a ≠ 0），再加两个条件就可以确定表达式。当然，通过前面学习，我们还知道一般式 y = ax2 + bx + c 通过配方可以化成 y = a(x + $\frac{b}{2a}$)2 + $\frac{4ac - b2}{4a}$，那么一般式的顶点坐标就是(-$\frac{b}{2a}$, $\frac{4ac - b2}{4a}$)。今天我们接着探索，若已知二次函数 y = ax2 + bx + c 图像上的 3 个点，可以确定这个二次函数的表达式吗？
同学们看例 2，已知二次函数的图像经过(-1, 1)、(4, 2)、(7, 3)点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标。
同学们观察，这三个点是任意的三个点，所以我们设所求二次函数的表达式为一般式 y = ax2 + bx + c，用待定系数法来确定 a、b、c 的值。下面我们将这三点代入，可以得到三元一次方程组：10 = a - b + c，4 = a + b + c，7 = 4a + 2b + c 。解这个方程组得 a = 2，b = -3，c = 5 。同学们还记得这个三元一次方程组怎么解吗？下面我们来看一下详细解法。解方程组的基本思路是什么？消元。我们先将二式减一式得 2b = -6，所以 b = -3。下面将 b = -3 分别代入二式和三式，可得二元一次方程组 a + c = 7，4a + c = 13。
现在我们将三元一次方程组消元，得到二元一次方程组，再观察这个二元一次方程组，可以选择代入消元法，也可以选择加减消元法，解得 a = 2，c = 5 。所以这个三元一次方程组的解是 a = 2，b = -3，c = 5 ，所以二次函数的表达式为 y = 2x2 - 3x + 5 。
那同学们，你能写出它的对称轴和顶点坐标吗？我们可以将二次函数的这个一般式化为顶点式，可得 y = 2(x - $\frac{3}{4}$)2 + $\frac{31}{8}$ 。所以二次函数的对称轴为直线 x = $\frac{3}{4}$ ，顶点坐标为($\frac{3}{4}$, $\frac{31}{8}$) 。当然有同学说利用顶点公式也是可以的，-$\frac{b}{2a}$ = $\frac{3}{4}$ ，$\frac{4ac - b2}{4a}$ = $\frac{31}{8}$ 。由此也可以得到二次函数的对称轴和顶点坐标。
我们来总结一下用一般式求待定系数的基本步骤是什么。下面我们归纳总结一下一般式法求二次函数表达式的方法。像刚刚这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法。一般式法求二次函数表达式的步骤是什么呢？一、先设函数表达式为 y = ax2 + bx + c（a ≠ 0）；二、代入后得到一个三元一次方程组；三、解方程组得到 a、b、c 的值；四、把待定系数用数字换掉，写出函数表达式。好，我们现在做一道小练习，巩固一下所学知识。已知二次函数的图像经过点(-1, -5)、(0, -4)和(1, 1)，求这个二次函数的表达式。
我们可以设出二次函数的表达式为 y = ax2 + bx + c 。将这三点代入，可得三元一次方程组：a - b + c = -5，c = -4，a + b + c = 1 。解这个三元一次方程组可得 a = 2，b = 3，c = -4 。所以这个二次函数的表达式为 y = 2x2 + 3x - 4 。下面我们来看知识点二。一个二次函数的图像经过点 A(0, 1)、B(1, 2)、C(2, 1)，你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流。
我们已知二次函数的图像过 A(0, 1)、B(1, 2)、C(2, 1)三点。根据前面所学，我们可以设二次函数表达式为 y = ax2 + bx + c 。
将(0, 1)、(1, 2)、(2, 1)代入 y = ax2 + bx + c 可得：c = 1，a + b + c = 2，4a + 2b + c = 1 。解这个三元一次方程组得 a = -1，b = 2，c = 1 ，所以二次函数的表达式为 y = -x2 + 2x + 1 。