师：同学们，今天我们一起来学习北师大版九年级下册第二章第四节二次函数的应用第一课时。在学习了二次函数的相关知识后，老师遇到了这样一道应用题。如图，在一面靠墙，墙长为20米的空地上，用长为24米的篱笆围成一个长方形花圃。设花圃的宽为x米，面积为s平方米。当x取何值时，所围成的花圃面积最大，最大值是多少？看到“最大值”，大家能联想到用二次函数的知识来解决它吗？这就是咱们今天要学习的内容——二次函数的应用。
首先，咱们来看本节课的学习目标。一、经历求最大面积等问题的探索过程，体会二次函数是一类最优化的数学模型，感受数学的应用价值。二、能分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数知识求出实际问题的最大或最小值。既然是求最值，那咱们先来复习下二次函数最值的求法。求下列函数的最大值或最小值：1. (y = 2x2 - 3x - 5)；2. (y = -x2 - 3x + 4)。首先我们观察这两个函数都是一般式，通过配方法，把一般式转化成顶点式，再根据a的正负就可以确定函数的最大值或最小值了。
我们来看第一题，因为(y = 2x2 - 3x - 5 = 2(x - \frac{3}{4})2 - \frac{9}{8} - 5 = 2(x - \frac{3}{4})2 - \frac{49}{8})。这里(a = 2\gt0)，所以它有最小值。当(x = \frac{3}{4})时，(y)的最小值是(-\frac{49}{8})。
再看第二题，(y = -x2 - 3x + 4 = -(x + \frac{3}{2})2 + \frac{9}{4} + 4 = -(x + \frac{3}{2})2 + \frac{25}{4})。因为(a = -1\lt0)，所以它有最大值。当(x = -\frac{3}{2})时，(y)的最大值是(\frac{25}{4})。
好了，复习了相关知识之后，咱们来开启今天的探索之旅吧。探究活动一，如图，在一个直角三角形的内部做一个矩形(ABCD)，其中(AB)和(AD)分别在两直角边上。咱们来看一下动画演示。一、设矩形的一边(AB = x)米，那么(AD)边的长度如何表示？二、设矩形的面积为(y)平方米，当(x)取何值时，(y)的值最大，最大值是多少？提示一下，思考三角形(CBF)与三角形(EIF)有什么关系？对你们有什么启发呢？
思考后我们会发现，在矩形(ABCD)中，(AB)平行且等于(CD)，(BC)平行且等于(AD)，这样很容易判定三角形(CBF)与三角形(EIF)相似。在三角形(CBF)中，两直角边(BF = 40 - x)，(BC)待求；在三角形(EIF)中，(IF = 40)，(IE = 30)。由相似的性质，对应边成比例即可求出(BC)的值。
我们来看一下解题过程，因为(AB = x)米，所以(BF = 40 - x)米。因为(BC\parallel IE)，所以三角形(CBF)相似于三角形(EIF)，所以有对应边(\frac{BC}{IE} = \frac{BF}{IF})，即(\frac{BC}{30} = \frac{40 - x}{40})，这样我们就可以求出(BC = -\frac{3}{4}x + 30)，从而(AD = BC = -\frac{3}{4}x + 30)。
当然，咱们这里也可以证明三角形(EDC)与三角形(EIF)相似，同样也可以求出(AD)的长。在求出(AD)边长后，矩形(ABCD)的面积(y = AB×AD = x×(-\frac{3}{4}x + 30) = -\frac{3}{4}x2 + 30x)，把它化成顶点式(y = -\frac{3}{4}(x - 20)2 + 300)。这里(AB)在边(IF)上，所以(x)的取值范围为(0\lt x\lt40)。因为这里(a = -\frac{3}{4}\lt0)，所以当(x = 20)时，(y)值最大为(300)。
假如在上面的问题当中，我们设(AD)的长为(x)米，那么问题的结果又会怎样？你是怎么知道的？我们可以类比刚才的方法，同样可以证明三角形(EDC)相似于三角形(EIF)，当然还可以证明三角形(CBF)相似于三角形(EIF)，都可以求出(AB)的长为(-\frac{4}{3}x + 40)。
在此，我们鼓励和提倡方法的多样性。待求出(AB)后，矩形(ABCD)的面积(y = AD×AB = x×(-\frac{4}{3}x + 40))，化成一般式为(y = -\frac{4}{3}x2 + 40x)，化成顶点式为(y = -\frac{4}{3}(x - 15)2 + 300)。因为(AD)在边(IE)上，所以(AD)也就是(x)的取值范围为(0\lt x\lt30)，因为这里(a = -\frac{4}{3}\lt0)，所以当(x = 15)时，(y)值最大为(300)。
如果我们再把已知条件变一下，在上面的问题中把矩形改为如右图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？设矩形的一边(BC = x)米，那么(AB)边的长度如何表示？设矩形的面积为(y)平方米，当(x)取何值时，(y)的最大值是多少？这里我们可以类比上题的方法，能否利用相似来表示(AB)。
我们知道图中矩形(ABCD)中有(AB)平行且等于(CD)，(BC)平行且等于(AD)，很容易推出三角形(PID)相似于三角形(PNM)，它的对应高的比等于相似比。因为我们由勾股定理可以得出(MN = 50)米，这样(AD)和(MN)对应边就有了。那如何表示(AB)呢？我们可以发现(AB)在这里垂直(MI)，这样我们可以借助辅助线过点(P)作(PH)垂直于(MI)，交(AD)于点(G)，则(PG)垂直于(AD)。这时我们发现(GH = AB)，这样(PG)就可以用(PH)的值减去(AB)。(PH)是大直角三角形(PNM)斜边上的高，我们可以利用面积法把它求出来。这样(\frac{AD}{MN} = \frac{PG}{PH})，从而就求出了(AB)的长度。
咱们来看一下解题过程，由勾股定理得(MN = 50)，再由面积法求出斜边的高(PH = 24)。因为(AD\parallel MN)，所以三角形(PID)相似于三角形(PNM)，这样我们就可以得出(\frac{AD}{MN} = \frac{PG}{PH})，代入具体数值后，即(\frac{x}{50} = \frac{24 - AB}{24})，从而求出(AB)的长为(-\frac{12}{25}x + 24)。
求出(AB)后，矩形(ABCD)的面积(y = x×(-\frac{12}{25}x + 24))，化成一般式为(y = -\frac{12}{25}x2 + 24x)，进而化成顶点式为(y = -\frac{12}{25}(x - 25)2 + 300)。这里(BC)长，也就是(x)要大于(0)小于(50)，因为这里(a = -\frac{12}{25}\lt0)，所以当(x = 25)时，(y)有最大值为(300)。